Определение ступенчатой функций

[shtudent]

Напишите, пожалуйста, определение ступенчатой функций.

[versta]

Ступенчатой называется функция, принимающая только конечное число значений.

[gris]

Это так и функция Дирихле будет ступенчатой.
В определении разве не должны интервалы присутствовать?

[shtudent]

versta в сообщении #578940 писал(а):

Ступенчатой называется функция, принимающая только конечное число значений.

У меня есть сомнения в верности вашего определения.

[versta]

shtudent в сообщении #578946 писал(а):

versta в сообщении #578940 писал(а):

Ступенчатой называется функция, принимающая только конечное число значений.

У меня есть сомнения в верности вашего определения.

А это уже беспредметный разговор: приведите утверждение, в котором используются ступенчатые функции и будем думать, что автор под этим понятием понимал.

А так все правильно: функция Дирихле ступенчатая.

[gris]

Обычно ступенчатой называют кусочно-постоянную функцию с конечным числом кусков.
А уж точное определение зависит от читаемого курса или учебника, если это вопрос формальный для ответа на экзамене.
Вполне возможно, что есть обобщения этого понятия, когда и функция Дирихле будет ступенчатой. Но я бы не хотел ходить по таким ступенькам
Кстати, ступенька может состоять и из одной точки.
Я бы определил через разбиение оси абсцисс конечным числом точек и постоянство в каждом открытом интервале.

[versta]

gris в сообщении #578957 писал(а):

Обычно ступенчатой называют кусочно-постоянную функцию с конечным числом кусков.
А уж точное определение зависит от читаемого курса или учебника, если это вопрос формальный для ответа на экзамене.

Хорошо бы еще дать определение объекта "кусок".

-- 01.06.2012, 00:04 --

>Я бы определил через разбиение оси абсцисс конечным числом точек и постоянство в каждом открытом интервале.

Тогда вы не посчитаете интеграл Лебега от функции Дирихле.

А вообще, у автора темы надо спросить для чего ему это надо, и почему бы не заглянуть в соответствующий
учебник

[gris]

Ну можно через сумму взвешенных характеристических функций конечного числа непересекающихся интервалов( в широком смысле слова, включающем и отрезки, и точки), объединение которых есть вся числовая прямая. Впрочем, возможно есть и комплексные, и многомерные обобщения.
Но я думаю, что этот вопрос из индикаторов хождения студента на лекции.

Насчёт интеграла Лебега: последовательность ступенчатых функций обычно бесконечна.

[shtudent]

Я нашел в одной литературе немного другое определение:
Функция $f$ называется ступенчатой, если она принимает не более, чем счетное число значений.
И как с этим быть?

[versta]

shtudent в сообщении #578968 писал(а):

Я нашел в одной литературе немного другое определение:
Функция $f$ называется ступенчатой, если она принимает не более, чем счетное число значений.
И как с этим быть?

:) С этим придется жить: все что вы прочитаете далее в этом источнике доказывается (надеюсь) для таких ступенчатых функций.

[shtudent]

Спасибо за отклик

[gris]

Я всё же замечу, что по определениям вообще спорить нельзя. Ну определили вот так, лишь бы непротиворечиво, почему нет, какая разница Однако, любые понятия вводятся для чего-то. В теории интеграла ступенчатые функции должны быть хорошими в смысле интегрирования. А тут получается, что характеристическая функция неизмеримого в некотором смысле множества ступенчата. И функция Римана ступенчата. Как-то это не хорошо.

[mihailm]

shtudent в сообщении #578968 писал(а):

Я нашел в одной литературе немного другое определение:
Функция $f$ называется ступенчатой, если она принимает не более, чем счетное число значений.
И как с этим быть?

в какой?

[shtudent]

Никольский С.М. «Курс математического анализа», ФИЗМАТЛИТ, М., 2000.
Вернее, автор одного поста ссылалась на эту книгу.
Ссылка на пост: http://knowledge.allbest.ru/mathematics/3c0a65635b3bc78a4d43b89421216d27_0.html