Теория вероятностей. Задача об отрезке и трех точках на нем.

[ns4style]

Здраствуйте. Пытался решить сам, но где-то упорно косячу.(
Собственно условие:
Дан отрезок длины $L$. На нем наугад поставлены три точки $x,y,z$ . Найти вероятность, что из полученных отрезков можно построить четырехугольник.

Мое решение:

я основываю решение на том, что четырехугольник можно будет построить если $a+b+c > d$
где $ a,b,c,d $ - любой из получившихся отрезков.
дальше что я делаю: фиксирую точку $x$. оцениваю вероятность $ |x-y| \geqslant L/2 $
эта вероятность равна $1/4$. Потом оцениваю вероятность, $ |x-z| \geqslant L/2 $ .вероятность равна тоже $1/4$. так как мы может зафиксировать не только $x$, но и $y$ или $z$, то умножаю все это дело на три и получаю ответ $3 \cdot \frac 1 4 \cdot \frac 1 4 = 3/16$. Но как я понял, это решение неверно.

Не можете ли подсказать где ошибка в рассуждении?

[zhoraster]

Тема перемещена из Помогите решить/разобраться (М) в Карантин:
- формулы надо набирать в нотации $\TeX$. Как это делать, можно посмотреть в теме Краткий ФАК по тегу [math].

Исправьте все свои ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.

Также в качестве полезного чтения рекомендую Правила научного форума.

[Toucan]

Немного поправил формулы и вернул.

[TOTAL]

ns4style в сообщении #578808 писал(а):

дальше что я делаю: фиксирую точку $x$. оцениваю вероятность $ |x-y| \geqslant L/2 $
эта вероятность равна $1/4$.

Нет, не $1/4$ (например, равна нулю, если $x$ в центре отрезка).

[ns4style]

TOTAL в сообщении #578879 писал(а):

ns4style в сообщении #578808 писал(а):

дальше что я делаю: фиксирую точку $x$. оцениваю вероятность $ |x-y| \geqslant L/2 $
эта вероятность равна $1/4$.

Нет, не $1/4$ (например, равна нулю, если $x$ в центре отрезка).

да, я тоже уже подумал об этом. развивая мысль дальше, мой метод не работает, если все три точки находятся на одной половине первоначального отрезка. К сожалению, идей как это все предусматривать, у меня нет.

[TOTAL]

Например, вероятность того, что самый левый кусок будет больше $1/2$ равна (считаем $L=1$)

$$3 \int^{1}_{1/2}(1-x)^2dx$$

Аналогично найдите вероятность того, что второй кусок будет больше $1/2$

[ns4style]

TOTAL в сообщении #578895 писал(а):

Например, вероятность того, что самый левый кусок будет больше $1/2$ равна (считаем $L=1$)

$$3 \int^{1}_{1/2}(1-x)^2dx$$

Аналогично найдите вероятность того, что второй кусок будет больше $1/2$

Спасибо за совет, взял интеграл. Только можете, пожалуйста, пояснить, откуда вы его взяли? У меня есть предположение, что $3$ перед интегралом, это кол-во точек. $1-x$ это расстояние от начала\конца отрезка до точки $x$. Для меня непонятно, откуда взялся квадрат в подынтегральном выражении.

щас буду думать, об успехах отпишусь тут :)

[TOTAL]

ns4style в сообщении #578902 писал(а):

Только можете, пожалуйста, пояснить, откуда вы его взяли?

Самая левая точка $x$ (ей может быть любая из точек, откуда множитель 3) лежит между $1/2$ и $1$ (откуда пределы интегрирования). Остальные две точки должны попасть праве, т.е. в отрезок длиной $(1-x)$

[Yu_K]

По идее нужно найти функцию распределения самого длинного из 4-х отрезков и дальше искать вер-ть, что он будет меньше своего дополнения до 1.

А для начало можно разобраться с двумя точками и треугольником.

[ns4style]

Yu_K в сообщении #578919 писал(а):

По идее нужно найти функцию распределения самого длинного из 4-х отрезков и дальше искать вер-ть, что он будет меньше своего дополнения до 1.

А для начало можно разобраться с двумя точками и треугольником.

с двумя точками и треугольник задача разобрана. она отлично решается по моему методу. а вот с четырехугольником все сложнее :(

-- 31.05.2012, 15:43 --

TOTAL в сообщении #578908 писал(а):

ns4style в сообщении #578902 писал(а):

Только можете, пожалуйста, пояснить, откуда вы его взяли?

Самая левая точка $x$ (ей может быть любая из точек, откуда множитель 3) лежит между $1/2$ и $1$ (откуда пределы интегрирования). Остальные две точки должны попасть праве, т.е. в отрезок длиной $(1-x)$

большое спасибо.

[miflin]

Может здесь найдете что-то полезное.

В мою бытность студентом задали похожую задачу:
На 3 единичных отрезка брошены точки, отсекающие от них (для определенности - слева)
отрезки. Какова вероятность составить из этих отрезков треугольник?
Вероятность попадания точек равномерна по длине отрезка.

Решал так.
Бросаем 3 точки на оси координат (в пределах 0<х<1, 0<y<1, 0<z<1).
Условие составления треугольника:
$x+y-z>0$
$x-y+z>0$
$-x+y+z>0$
Имеем уравнения 3-х плоскостей, которые высекают из куба область
точек, удовлетворяющих построению треугольника (треугольная пирамида).
Куб с единичным ребром. Три грани его лежат в координатных плоскостях,
одна из вершин - в начале координат. Собственно, куб - совокупность
возможных исходов. Вероятность = объем пирамиды делить на объем куба.

[Yu_K]

miflin в сообщении #578936 писал(а):

На 3 единичных отрезка брошены точки, отсекающие от них (для определенности - слева) отрезки. Какова вероятность составить из этих отрезков треугольник?
Вероятность попадания точек равномерна по длине отрезка.
Решал так.
Бросаем 3 точки на оси координат (в пределах 0<х<1, 0<y<1, 0<z<1).

Исходная задача отличается от Вашей существенно - тут на единичный отрезок бросается три точки - по этим точкам отрезок ломается - определить вер-ть получения замкнутой ломаной. И ответы разные в этих задачах .

[miflin]

(Оффтоп)

Yu_K в сообщении #579013 писал(а):

Исходная задача отличается от Вашей существенно

Дачтовыговорите? Неможеттакогобыть!
Разветреугольникичетырехугольникэтонеодноитоже?

[Yu_K]

miflin
Два варианта

1) либо ломаная получается из одного отрезка, случайным делением его на части,
2) либо составляется из нескольких отрезков, каждый из которых получен путем отрезания от единичного отрезка случайной части.

Посчитайте вер-ти на досуге.

[Someone]

Задача на геометрические вероятности.
Пусть $x,y,z$ - расстояния от "левого" конца отрезка до выбранных точек. Предположим, что $0\leqslant x\leqslant y\leqslant z\leqslant L$. Рассмотрите упорядоченную тройку $(x,y,z)$ как точку в пространстве с декартовыми координатами. Четыре написанных неравенства определяют некоторую область в пространстве.
Что это за область?
Как выражаются длины отрезков через $x,y,z$?
Четырёхугольник построить можно, если выполняются четыре неравенства: каждый из четырёх отрезков не длиннее суммы остальных (на вырожденные случаи можно не обращать внимания). Запишите все эти четыре неравенства через $x,y,z$.
Какую область определяют все эти неравенства?
Когда всё это выяснится, останется найти два объёма и поделить один на другой (согласно геометрическому определению вероятности).