Теория вероятностей. Задача об отрезке и трех точках на нем.

[TOTAL]

Пусть на отрезок $[0, 1]$ брошены $n$ точек.
Вероятность того, что кусок после $i$-й слева точки длиннее $1/2,$ равна

$$n \int^{1/2}_0 C_{n-1}^{i-1} x^{i-1} (1/2-x)^{n-i}dx$$

Суммируя, легко получаем, что вероятность того, что один из кусков длиннее $1/2,$ равна $P_n=\frac{n+1}{2^n}$

[miflin]

(Оффтоп)

Yu_K в сообщении #579242 писал(а):

miflin
Два варианта

1) либо ломаная получается из одного отрезка, случайным делением его на части,
2) либо составляется из нескольких отрезков, каждый из которых получен путем отрезания от единичного отрезка случайной части.

Посчитайте вер-ти на досуге.

Публикуя свой первый пост, я хотел показать ТС'у один из подходов
для решения подобных задач.
Вот и Someone пишет в этом направлении...
Но если Вам хочется считать меня придурком, отождествившим две разные
задачи, считайте на здоровье, если это тешит Ваше самолюбие и улучшает
пищеварение. Я рад оказать Вам эту мелкую услугу. Но - услуга за услугу!
Разрешите мне, в свою очередь, считать Вас чрезмерно назойливым
молодым человеком. Кстати, кто такой Студебеккер? (c) Ваш родственник?

[Yu_K]

(Оффтоп)

2 TOTAL - а модераторы не забанят на неделю за полный ответ.

Функция распределения длины самого длинного отрезка при разбиении единичного отрезка на $n$ случайных интервалов имеет вид

$$F(x,n)=\sum_{k=0}^{n}(-1)^kC_n^k\left( \frac{1-kx+\mid 1-kx\mid }{2} \right)^{n-1}$$

(venco давал подобную задачку на марафоне, только там было про окружность). Отсюда сразу получаем нужную вероятность

$$F(1,n)-F(\frac 1 2,n)= \frac {n+1} {2^n}$$

[Henrylee]

Someone в сообщении #579279 писал(а):

...
Когда всё это выяснится, останется найти два объёма и поделить один на другой (согласно геометрическому определению вероятности).

И еще для приличия останется заметить, что найденная нами таким образом вероятность есть лишь одна из нескольких условных вероятностей. Правда, остальные условные с ней совпадают, и по формуле полной вероятности искомая равна ей же.