Несобственный интеграл с параметром

[silas]

Братцы, объясните пожалуйста примерчик

При а>0, выяснить при каких "а" сходится интеграл:
$\[\int\limits_0^\infty {\frac{{1 + {x^2}}}{{({x^2} + {x^a}){{(1 + {x^a})}^2}}}} dx\]$
(Не очень понятно с какой эквивалентной функцией сравнить, и какие иксы в каких степенях выживают)

[ИСН]

А что тут непонятного? Выживают иксы в тех степенях, которые больше. Это со стороны бесконечности; со стороны нуля - наоборот. Так и рассматривайте.

[silas]

$\[\int\limits_0^1 {\frac{{1 + {x^2}}}{{({x^2} + {x^a}){{(1 + {x^a})}^2}}}} dx \sim \int\limits_0^1 {\frac{1}{{{x^a}}}} dx\]$

Значит сходится при 0<а<1?


-- 29.05.2012, 23:21 --

$\[\int\limits_1^\infty {\frac{{1 + {x^2}}}{{({x^2} + {x^a}){{(1 + {x^a})}^2}}}} dx \sim \int\limits_1^\infty {\frac{{{x^2}}}{{{x^{3a}}}}} dx \sim \int\limits_1^\infty {\frac{1}{{{x^{3a - 2}}}}} dx\]$
сх-ся при а>1??
А откуда известно, что а не равно например 0,1 и квадрат ее не забивает?
Вроде бред написал.

[silas]

Вроде понял.

$\[\int\limits_1^\infty {\frac{{1 + {x^2}}}{{({x^2} + {x^a}){{(1 + {x^a})}^2}}}} dx \sim \int\limits_1^\infty {\frac{{{x^2}}}{{{x^2} \times {x^{2a}}}}} dx \sim \int\limits_1^\infty {\frac{1}{{{x^{2a}}}}} dx\]$
Верно?
Схо-ся при а>1/2

[ИСН]

Как-то так, да.
Только:
- надо отдельно расписать случаи, когда квадрат забивает, и когда его самого забивают;
- интегралы не эквивалентны. эквивалентны подинтегральные функции;
- Вы используете в записи какое-то несообразное количество скобочек.

[silas]

Так, когда квадрат забивает 'а'?

$\[\frac{{1 + {x^2}}}{{({x^2} + {x^a}){{(1 + {x^a})}^2}}} \sim \frac{{{x^2}}}{{{x^2}}} = 1\]$

Расходится для 'а'<2???.

А если икс в квадрате забивает а , но не степень 2а, то это тоже отдельный случай?
И еще не очень понял замечание насчет скобочек.

[ИСН]

silas в сообщении #578442 писал(а):

Так, когда квадрат забивает 'а'?

Когда $x^2>>x^a$. Лень расписывать, ну.

silas в сообщении #578442 писал(а):

А если икс в квадрате забивает а , но не степень 2а, то это тоже отдельный случай?

А разве у Вас есть где-то место, где складывают $x^2+x^{2a}$?

silas в сообщении #578442 писал(а):

И еще не очень понял замечание насчет скобочек.

Забейте. (То есть можете и не забивать (я бы пояснил, но лень (вперёд меня родилась, говорят)... Whatever)).

[silas]

ИСН в сообщении #578467 писал(а):

silas в сообщении #578442 писал(а):

Так, когда квадрат забивает 'а'?

Когда $x^2>>x^a$. Лень расписывать, ну.

silas в сообщении #578442 писал(а):

$\[\frac{{1 + {x^2}}}{{({x^2} + {x^a}){{(1 + {x^a})}^2}}} \sim \frac{{{x^2}}}{{{x^2}}} = 1\]$

Это не то?

[ИСН]

Без указания области (которых у Вас две, и поведение в них разное) это ничего не значит.

[silas]

Сори. Это на бесконечности.

[ИСН]

Так, уже лучше. Теперь - при каких a?

[silas]

чтобы степень 2а << степени 2? То бишь 0<a<1?

[ИСН]

Зачем Вы сравниваете 2a и 2?

ИСН в сообщении #578467 писал(а):

разве у Вас есть где-то место, где складывают $x^2+x^{2a}$?

[silas]

Значит а << 2?

[ИСН]

Не меньше-меньше, а просто меньше. Или больше. Если меньше, то... (здесь многабукф), а если больше, то... (здесь другие многабукф).