Как написать функцию поверхности?

[A'Y]

Есть ли идеи в каком разделе математики это решено?

[mserg]

Раздел называется «Исследование операций».

Для прокладки провода лучше использовать не поверхность, а прямо модель прокладки маршрута. Например, можно покрыть поверхность прямоугольной сеткой, и точки (узлы сетки), находящиеся на небольшом расстоянии друг от друга, соединить «ребрами». Прокладывание провода разрешить только между точками и только по ребрам. Ребрам нужно назначить длину (стоимость прокладки и т.п.). Там где прокладку проводить нельзя - сетки не будет. Сетку, в целях борьбы с размерностью задачи, разумеется, можно делать неравномерной.

Имея такую модель, можно найти наилучшую в выбранном смысле прокладку провода между двумя пунктами. См. например (см. Е. С. Вентцель «Исследование операций»., динамическое программирование).

Теперь можно рассчитать расстояния между всеми красными точками. Если провод «ветвится» не может – то приходим к задаче коммивояжера. Если может – то к задаче поиска минимального остовного дерева.

В реальности, если провод разрешается ветвить, то наилучшая прокладка может включать в себя разветвление в некоторых промежуточных точках, а не в самих потребителях (красных точках). Поиск таких точек – «творческая» задача.
Например, если нужно соединить кратчайшим путем три точки, которые находятся в вершинах треугольника. То вроде как наилучшее соединение включает в себя промежуточную точку в «центре» треугольника, к которой проложены пути из вершин треугольника. Сходная проблема есть (была?) при трассировке печатных плат – идеи можно там подсмотреть.

Ну, и т.д.

[A'Y]

mserg в сообщении #577812 писал(а):

В реальности, если провод разрешается ветвить, то наилучшая прокладка может включать в себя разветвление в некоторых промежуточных точках, а не в самих потребителях (красных точках). Поиск таких точек – «творческая» задача.

Да, ветвить в промежуточных точках допускается, если это сократит длину. А что значит "творческая задача"? Никаких алгоритмов? А как решать?

[mserg]

Это называется задача Штейнера (на графах). Скорее всего, должны быть какие-то приближенные алгоритмы для данной задачи – не знаю.

Возьмите для примера вершины прямоугольника. Для оптимального их соединения потребуется 2 промежуточные точки.

Опять же, в реальности, так задачу вряд ли кто-то ставит, т.к. потребители могут появляться и исчезать, провода тянут от генераторов к потребителям с уменьшением «толщины», ветвление – это дополнительное оборудование в виде распределительного трансформатора (станции/подстанции, распределительного щита и т.д.), потребители плотно кучкуются в населенных пунктах, и т.д. Потом, нужно обеспечить надежность в виде альтернативного питания на случай аварии и пр. Впрочем, я в этом ничего не понимаю.

[Александр Т.]

A'Y в сообщении #573378 писал(а):

Есть кусочек земли, скажем, огород большой площади. Его поверхность несколько непростой формы, из ломаных срезов. Проведены опорные точки, их координаты в 3D известны. Как представить в виде многочлена?

В виде многочлена, как уже Вам непреклонно ответили выше — никак.

Однако можно представить этот "кусочек земли" в виде параметрически заданной поверхности так, что ее представление будет задаваться кусочно-линейной функцией двух переменных. Если интересно каким именно образом, спрашивайте. Думаю, что Вам ответят.

[Kallikanzarid]

Линейный сплайн не ок?

[Munin]

Для одной переменной можно задать произвольную кусочно-линейную функцию одной формулой, если использовать функцию "модуль". А для функции двух переменных можно провернуть аналогичный фокус?

[мат-ламер]

Kallikanzarid в сообщении #578022 писал(а):

Линейный сплайн не ок?

ОК! Часто используется для решения УМФ методом конечных элементов. Четырёхугольники можно разбить на два треугольника.