Коммутант симметрической группы.

[fenrixa]

Задача -- найти коммутанты и порядки факторгрупп по этим коммутантам для симметрических групп $S_{3}$ и $S_{4}$.
Пытаясь найти ответ, не раз наткнулся на утверждение, что коммутантом является группа четных перестановок, т.е. знакопеременная $A_{3}$ и $A_{4}$ соответственно, а порядок факторгруппы = 2.

Вопрос: как это доказать? Может, в каком-нибудь учебнике есть доказательство?
Спасибо.

[Хорхе]

То, что элементы коммутанта -- четные перестановки, очевидно. Утверждение про индекс коммутанта также очевидно следует из утверждения про коммутант. Осталось доказать, что все четные перестановки являются коммутантами. В данном случае, если не знаете, как доказать, можно просто-напросто для каждого из цикловых типов нетривиальной четной перестановки предъявить перестановки, коммутатором которых он является. Это не так сложно: в $A_3$ достаточно одной предъявы, в $A_4$ -- двух, но из них одна такая же, как в $A_3$.