Конечность интеграла функции распределения.

[Bridgeport]

Добрый день!

Имеется вероятностная мера $P$ и случайная величина $X$ и функция распределения $F(t)=P(X\leq t)$.

Требуется доказать, что $\int_{-\infty}^{s}F(x)dx<\infty$ для любого конечного $s$

Не подскажите где начать?

[Хорхе]

Это неверно, например, для распределения Коши. Вообще это правильно тогда и только тогда, когда математическое ожидание отрицательной части $X$ конечно, при этом данный интеграл равен чему-то вроде $E[(s-X)_+]$ (проинтегрируйте по частям).

[Bridgeport]

Огромное спасибо, действительно, $E[(s-X)_{+}]$ верно и существования математического ожидания недостаточно, необходима конечность $EX^{-}<\infty$

[Хорхе]

Bridgeport в сообщении #578030 писал(а):

существования математического ожидания недостаточно, необходима конечность $EX^{-}<\infty$

Это так, так сказать так, но не совсем так (с). Существования математичного ожидания как раз достаточно, но достаточно и конечности $EX^{-}<\infty$ (она же и необходима).

[Bridgeport]

На сколько я помню, математическое ожидание определено, когда хотя бы один из интегралов $EX^-$ и $EX^+$, конечен. Так что если, $EX^+<\infty$, а $EX^- =\infty$, то мат. ожидание определено (существует), но нас этот случай не устраивает.

[Хорхе]

Bridgeport в сообщении #578805 писал(а):

На сколько я помню, математическое ожидание определено, когда хотя бы один из интегралов $EX^-$ и $EX^+$, конечен.

А, ну в этом смысле да. Но для меня оно определено, когда оно конечно.