2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Конечность интеграла функции распределения.
Сообщение29.05.2012, 16:41 
Добрый день!

Имеется вероятностная мера $P$ и случайная величина $X$ и функция распределения $F(t)=P(X\leq t)$.

Требуется доказать, что $\int_{-\infty}^{s}F(x)dx<\infty$ для любого конечного $s$

Не подскажите где начать?

 
 
 
 Re: Конечность интеграла функции распределения.
Сообщение29.05.2012, 16:52 
Аватара пользователя
Это неверно, например, для распределения Коши. Вообще это правильно тогда и только тогда, когда математическое ожидание отрицательной части $X$ конечно, при этом данный интеграл равен чему-то вроде $E[(s-X)_+]$ (проинтегрируйте по частям).

 
 
 
 Re: Конечность интеграла функции распределения.
Сообщение29.05.2012, 17:35 
Огромное спасибо, действительно, $E[(s-X)_{+}]$ верно и существования математического ожидания недостаточно, необходима конечность $EX^{-}<\infty$

 
 
 
 Re: Конечность интеграла функции распределения.
Сообщение31.05.2012, 00:15 
Аватара пользователя
Bridgeport в сообщении #578030 писал(а):
существования математического ожидания недостаточно, необходима конечность $EX^{-}<\infty$

Это так, так сказать так, но не совсем так (с). Существования математичного ожидания как раз достаточно, но достаточно и конечности $EX^{-}<\infty$ (она же и необходима).

 
 
 
 Re: Конечность интеграла функции распределения.
Сообщение31.05.2012, 04:01 
На сколько я помню, математическое ожидание определено, когда хотя бы один из интегралов $EX^-$ и $EX^+$, конечен. Так что если, $EX^+<\infty$, а $EX^- =\infty$, то мат. ожидание определено (существует), но нас этот случай не устраивает.

 
 
 
 Re: Конечность интеграла функции распределения.
Сообщение31.05.2012, 07:54 
Аватара пользователя
Bridgeport в сообщении #578805 писал(а):
На сколько я помню, математическое ожидание определено, когда хотя бы один из интегралов $EX^-$ и $EX^+$, конечен.

А, ну в этом смысле да. Но для меня оно определено, когда оно конечно.

 
 
 [ Сообщений: 6 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group