Пусть

и

---

-мерное подпространство в пространстве всех матриц

.
Возьмем

переменных

. Существует

-матрица

такая, что:
(i) В некоторых

позициях

стоят переменные

(каждая переменная встречается ровно

раз).
(ii) В остальных

позициях стоят линейные формы от

(суммы переменных с коэффициентами из поля

).
(iii) Пространство

задается соотношением

.
Рассмотрим матрицу

. Перестановкой строк и столбцов можно добиться того, чтобы позиции в которых стоят линейные формы оказались строго над главной диагональю (доказывается индукцией по

). Иными словами, существуют такие обратимые матрицы

и

с элементами из

(фактически это матрицы перестановок), что матрица

удовлетворяет условиям (i) и (ii) и кроме того все линейные формы стоят в

над главной диагональю. Ясно, что можно выбрать значения переменных

таким образом, чтобы в матрице

все элементы под главной диагональю были равны

, а все элементы на главной диагонли равнялись

. При таком выборе значений переменых матрица

будет обратима. Следовательно, согласно (iii), пространство

содержит обратимую матрицу.