Вырожденные матрицы

[RIP]

Какую наибольшую размерность может иметь подпространство линейного пространства всех матриц размера $n\times n$ (с элементами из некоторого поля $k$), целиком состоящее из вырожденных матриц?

[Руст]

Как мерность $n^2-1$. Только они не образует линейного пространства, чтобы определить размерность.

[maxal]

Нижняя оценка $\frac{n(n-1)}{2}$ дается всеми матрицами с нулями на главной диагонале и выше ее. Подозреваю, что это и есть ответ.

[RIP]

maxal писал(а):

Нижняя оценка $\frac{n(n-1)}{2}$ дается всеми матрицами с нулями на главной диагонале и выше ее. Подозреваю, что это и есть ответ.

Почти.

На самом деле эту задачу я решал давным-давно и не помню решения, поэтому не могу сказать, зависит ли ответ от поля. Помню только ответ, ибо он очевиден (я решал для поля $\mathbb R$)

[Руст]

Если линейное пространство, то такому относится и n(n+1)/2-1. Все верхние нули и ноль в каком то фиксированном месте на диагонали. А ещё лучше, взять подпространство у которого все нули на какой то строке или стобце, т.е. размерность n(n-1). Легко доказывается, что не существует линейного пространства большей размерности, целиком состоящей из вырожденных матриц.

[Hypokeimenon]

RIP писал(а):

maxal писал(а):

Нижняя оценка $\frac{n(n-1)}{2}$ дается всеми матрицами с нулями на главной диагонале и выше ее. Подозреваю, что это и есть ответ.

Почти.

На самом деле эту задачу я решал давным-давно и не помню решения, поэтому не могу сказать, зависит ли ответ от поля. Помню только ответ, ибо он очевиден (я решал для поля $\mathbb R$)

видимо, maxal имел в виду подалгебру...

[Руст]

Hypokeimenon писал(а):

видимо, maxal имел в виду подалгебру...

Матрицы, у которых на фиксированной строке или столбце стоят одни нули, образуют подалгебру. И в этом случае ответ $n(n-1)$.

[lofar]

Пусть $M=(n-1)+1$ и $V$ --- $M$-мерное подпространство в пространстве всех матриц $\mathcal M_n(k)$.

Возьмем $M$ переменных $x_1,\ldots, x_M$. Существует $n\times n$-матрица $A=A(x_1,\ldots, x_M)$ такая, что:
(i) В некоторых $M$ позициях $A$ стоят переменные $x_1,\ldots, x_M$ (каждая переменная встречается ровно $1$ раз).
(ii) В остальных $n^2-M=n-1$ позициях стоят линейные формы от $x_1,\ldots, x_M$ (суммы переменных с коэффициентами из поля $k$).
(iii) Пространство $V$ задается соотношением $V=\{A(a_1,\ldots,a_M)\;|\;a_1,\ldots, a_M\in k\}$.

Рассмотрим матрицу $A$. Перестановкой строк и столбцов можно добиться того, чтобы позиции в которых стоят линейные формы оказались строго над главной диагональю (доказывается индукцией по $n$). Иными словами, существуют такие обратимые матрицы $P$ и $Q$ с элементами из $k$ (фактически это матрицы перестановок), что матрица $B=PAQ$ удовлетворяет условиям (i) и (ii) и кроме того все линейные формы стоят в $B$ над главной диагональю. Ясно, что можно выбрать значения переменных $x_1,\ldots, x_M$ таким образом, чтобы в матрице $B$ все элементы под главной диагональю были равны $0$, а все элементы на главной диагонли равнялись $1$. При таком выборе значений переменых матрица $A=P^{-1}BQ{-1}$ будет обратима. Следовательно, согласно (iii), пространство $V$ содержит обратимую матрицу.

[Brukvalub]

lofar писал(а):

Пусть $M=(n-1)+1$

lofar писал(а):

(ii) В остальных $n^2-M=n-1$ позициях

1.Эти два факта противоречат друг другу.
2.А что вообще доказывается в вашем посте?

[Руст]

Brukvalub писал(а):

lofar писал(а):

Пусть $M=(n-1)+1$

lofar писал(а):

(ii) В остальных $n^2-M=n-1$ позициях

1.Эти два факта противоречат друг другу.
2.А что вообще доказывается в вашем посте?

Он описался $M=n(n-1)+1$. Доказывается очевидный ранее упомянутый факт о том, что в линейном пространстве матриц размерности M найдётся невырожденная матрица.

[RIP]

Пусть $V$ --- векторное пространство, целиком состоящее из вырожденных матриц размера $n\times n$ (над неким полем $F$). Допустим, что $V$ максимально по включению (т.е. не существует $W$ с теми же условиями, что $V\subsetneq W$). Верно ли, что $\dim_FV\ge n$? (Разумеется, $n>1$.)

[Юстас]

Кажется, что верно. Если $A_1, A_2$-элементы базиса, то $det(xA_1+yA_2-\lambda E)=0 $ имеет нулевой корень $\forall x,y$, и коэффициенты этого полинома есть полиномы от $x,y$. Из соображений непрерывности ясно, что это возможно только если у $A_1,A_2$ есть общая нулевая(без ограничения общности) строка(столбец). То же верно и для $n$ матриц. Ну а размерность пространства матриц с одной нулевой строкой есть $F^{n(n-1)}$.

[RIP]

Чё-то я не догнал местами. Берём

$$A_1=\begin{pmatrix}1&1&1\\1&1&1\\1&1&1\end{pmatrix},\ A_2=\begin{pmatrix}1&1&1\\1&1&1\\2&2&2\end{pmatrix}.$$

В каком месте у них общая нулевая строка/столбец? Или я не так понял?

[Профессор Снэйп]

Гипотеза такая. Пусть $V$ --- подпространство в пространстве матриц размера $n \times n$ над полем $k$, состоящее только из вырожденных матриц. Тогда найдутся $X$, $Y$ --- подпространства в $k^n$, такие что $\mathrm{dim}(Y) < \mathrm{dim}(X)$ и $Ax \in Y$ для всех $A \in V$ и $x \in X$.

[Юстас]

Я ошибся, когда приводил подобные слагаемые полинома $det(xA_1+yA_2-\lambda E)=0$, но по крайней мере можно утверждать, что все коэффициенты свободного члена как полинома от $x,y$ нулевые