2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Вычет и двойной интеграл
Сообщение27.05.2012, 18:01 


23/05/12
6
Добрый день, помогите решить 2 примера:
1) Переход к полярным координатам:
$\int_{D}^{}\int_{}^{}x\sqrt{x^2+y^2}dxdy$
$x^2+y^2\leq4$
$y\geq0$
И вычет:
$\oint\limits_{\mid z-2i\mid=3} \frac{1}{z^2(z^2+4)}dz$
На счет вычета: получается всего 2 особые точки 0 и 2i и обе они попадают в окружность. То есть в них и надо считать вычеты, а потом сложить? Мне нужно функцию в ряд лорана раскладывать?

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычет и двойной интеграл
Сообщение27.05.2012, 19:15 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
10910
Crna Gora
Насчет полярных координат.
Надо записать подынтегральную функцию в полярных координатах.
Надо не забыть про якобиан перехода.
Надо правильно расставить пределы интегрирования в новых переменных.
Надо, наконец, взять полученный двойной интеграл.
Что-нибудь из этого можете проделать самостоятельно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычет и двойной интеграл
Сообщение28.05.2012, 00:47 


23/05/12
6
Я попробую.
Область интегрирования - круг с радиусом 4. То есть r в полярных координатах изменяется от 0 до 4, а $\theta$ от 0 до 2п. Якобиан равен r.
$\int_{D}^{}\int_{}^{}x\sqrt{x^2+y^2}dxdy = \int_{S}^{}\int_{}^{}r^2cos\theta \sqrt{r^2cos^2\theta+r^2sin^2\theta} rdrd\theta = $ Вроде так, а как дальше не знаю

 i  AKM:
\sin \cos \pi

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычет и двойной интеграл
Сообщение28.05.2012, 04:10 
Заслуженный участник


21/05/11
897
Радиус не 4, а 2...

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычет и двойной интеграл
Сообщение28.05.2012, 07:17 
Аватара пользователя


04/02/12
305
Ростов-на-Дону
Относительно контурного интеграла:
Вы же можете воспользоваться теоремой о полной сумме вычетов и например посчитать вычет в точке вне круга $|z-2i|=3$, соответственно в бесконечо удалённой точке и в точке $-2i$, который соответсвенно являются УОТ и простым полюсом. (советую так чтобы не считать вычет в нуле, так как это будет полюс второго порядка, хотя пример несложный выбирайте способ решения сами)

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычет и двойной интеграл
Сообщение28.05.2012, 12:38 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
10910
Crna Gora
Dima1234
Следующий этап -- учёт всех замечаний -- тех, что были сделаны, и ещё моих.
0) Код sin даёт некрасивый $sin$, код \sin даёт красивый $\sin$. Аналогично \cos,\pi: $\cos$, $\pi$.
1) Так как в уравнение окружности $x^2+y^2=R^2$ радиус входит в квадрате, $x^2+y^2=4$ -- это окружность радиуса $2$, а не $4$.
2) Полярный угол лучше обозначать $\varphi$ (код \varphi), Вас будут лучше понимать. Угол $\theta$ -- это в сферических координатах.
3) $x$ Вы заменили на $r^2\cos\varphi$, а правильно $r\cos\varphi$.
4) $\sqrt{r^2\cos^2\varphi+r^2\sin^2\varphi}$ -- немедленно упростить до одной буквы. Инстинкт упрощения и приведения в порядок должен быть в крови.
5) Пределы $0\leqslant\varphi\leqslant 2\pi$ неправильные. Исправьте их с учетом условия $y\geqslant 0$.
6) Когда пределы интегрирования найдены, уже не обозначайте область интегрирования буквой. Буква, кстати, если уж её писать, будет та же ($D$) и в полярных: область не изменилась. Вместо этого напишите при каждом интеграле пределы интегрирования, вроде такого: $\int\limits_{r=0}^2$, или просто $\int\limits_0^2$, если понятно, по какой переменной берется интеграл.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычет и двойной интеграл
Сообщение28.05.2012, 18:12 


23/05/12
6
$\int_{D}^{}\int_{}^{}x\sqrt{x^2+y^2}dxdy = \int_{0}^{2}\int_{0}^{\pi}r\cos \varphi\sqrt{r\cos^2 \varphi+r\sin^2 \varphi} rd\varphi dr  = \int_{0}^{2}\int_{0}^{\pi}\cos \varphi r^2 \sqrt{r} d\varphi dr$ Вот так получилось, теперь можно брать интеграл? Сначала решаю внутренний интеграл по $\varphi$, кстати а что делать с r - как константу?

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычет и двойной интеграл
Сообщение28.05.2012, 18:56 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
10910
Crna Gora
Вы в прошлом сообщении уже написали правильно, что $\sqrt{x^2+y^2}$ равно $\sqrt{r^2\cos^2\varphi+r^2\sin^2\varphi}$, а теперь квадраты куда-то подевались. И я же подсказал -- это упрощается до одной буквы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычет и двойной интеграл
Сообщение29.05.2012, 03:33 


23/05/12
6
$\int_{D}^{}\int_{}^{}x\sqrt{x^2+y^2}dxdy = \int_{0}^{2}\int_{0}^{\pi}r\cos \varphi\sqrt{r^2\cos^2 \varphi+r^2\sin^2 \varphi} rd\varphi dr  = \int_{0}^{2}\int_{0}^{\pi}\cos \varphi r^3  d\varphi dr$ Вот так?

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычет и двойной интеграл
Сообщение29.05.2012, 14:21 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
10910
Crna Gora
Да, теперь правильно.
Запишите это в виде произведения двух интегралов, в одном -- все, что касается $r$, в другом -- все что, касается $\varphi$.
Возьмите каждый интеграл по отдельности, перемножьте и будет ответ.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычет и двойной интеграл
Сообщение29.05.2012, 15:00 


23/05/12
6
$\int_{D}^{}\int_{}^{}x\sqrt{x^2+y^2}dxdy = \int_{0}^{2}\int_{0}^{\pi}r\cos \varphi\sqrt{r^2\cos^2 \varphi+r^2\sin^2 \varphi} rd\varphi dr  = \int_{0}^{2}\int_{0}^{\pi}\cos \varphi r^3  d\varphi dr = \int_{0}^{2}r^3 dr \int_{0}^{\pi}\cos \varphi d\varphi = 4\sin{\pi} $ Правильно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычет и двойной интеграл
Сообщение29.05.2012, 15:05 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
10910
Crna Gora
А $\sin\pi$ чему равно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычет и двойной интеграл
Сообщение29.05.2012, 21:26 


23/05/12
6
Нулю, и получается весь интеграл нулю равен.
А на счет вычетов, чтобы допустим посчитать вычет в -2i мне нужно в ряд лорана раскладывать?

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычет и двойной интеграл
Сообщение29.05.2012, 22:46 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
10910
Crna Gora
А вычеты -- не по моей части! :mrgreen:
Dima1234 писал(а):
Нулю, и получается весь интеграл нулю равен.
И это было видно сразу. Область симметричная относительно оси $Oy$. А функция -- нечетная по $x$.
Любой точке $(x, y)$, в которой подынтегральная функция принимает некоторое значение $f(x, y)=x\sqrt{x^2+y^2}$, соответствует симметричная точка $(-x, y)$, в котором функция принимает значение $f(-x, y)=-x\sqrt{x^2+y^2}=-f(x, y)$. И вклады симметричных точек взаимно уничтожаются. В итоге -- нуль.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычет и двойной интеграл
Сообщение29.05.2012, 23:20 
Аватара пользователя


04/02/12
305
Ростов-на-Дону
Dima1234 в сообщении #578138 писал(а):
...
А на счет вычетов, чтобы допустим посчитать вычет в -2i мне нужно в ряд лорана раскладывать?...

Выше Вам написал как поступить... Зачем в ряд Лорана?(это сложнее)

$-2i$, это просто полюс, а там вычет по формуле можно сказатьсчитается...

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 15 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group