Сингулярность распределений

[sxdxfan]

Нужно доказать, что распределения $w_t$, $w_t + 1$ и $2w_t$ на $T = [0,1]$ сингулярны относительно друг друга, $w_t$ - винеровский процесс.

Для того, чтобы доказать сингулярность распределений $\mu_{\xi_.}$ и $\mu_{\eta_.}$ случайных функций $\xi_{.}$ и $\eta_{.}$ достаточно предъявить $\mathfrak{B}^T$-измеримый функционал $f$, такой что $f(\xi_.) = a$ с вероятностью 1, и $f(\eta_.) = b$ с вероятностью 1, где $a$ и $b$ различны.

Тогда для множества $C_a = \{x_.: f(x_.) = a\}$ распределения $\mu_{\xi_.} (C_a) = 1$, $\mu_{\eta_.}(C_a) = 0$, ну и распределения дополнений $\mu_{\xi_.}(\mathbb{R}^T \setminus C_a) = 0$ и $\mu_{\eta_.}(\mathbb{R}^T \setminus C_a) = 1$.

Помогите построить такие функционалы $f$, пожалуйста

[Хорхе]

С $w_t$ и $w_{t}+1$ сложностей быть не должно вообще. Думайте еще, это элементарно, Ватсон

Насчет второго... Вообще, две бесконечномерные гауссовские меры либо эквивалентны, либо сингулярны. Необходимым условие первого является равенство ковариационных операторов, а тут они в несколько раз отличаются.

Если нужно обойтись более стандартными фактами (хотя куда уж стандартнее), можно вспомнить про закон повторного логарифма или про квадратическую вариацию.

[sxdxfan]

Ну, с $w_t$ и $w_t +1$ понятно, пользуемся тем, что при $t=0$ они равны почти наверное нулю и единице соответственно, в качестве функционала берем, к примеру, математическое ожидание, от $w_t$ оно равно нулю, ну а от $w_t + 1$ единице.

Сейчас попробую разобраться с $2w_t$...

-- 27.05.2012, 11:51 --

А, ну функция неограниченной вариации же, спасибо, кажется разобрался!

[Хорхе]

sxdxfan в сообщении #577038 писал(а):

Ну, с $w_t$ и $w_t +1$ понятно, пользуемся тем, что при $t=0$ они равны почти наверное нулю и единице соответственно, в качестве функционала берем, к примеру, математическое ожидание, от $w_t$ оно равно нулю, ну а от $w_t + 1$ единице.

Сейчас попробую разобраться с $2w_t$...

-- 27.05.2012, 11:51 --

А, ну функция неограниченной вариации же, спасибо, кажется разобрался!

Все не так, причем сильно не так. Математическое ожидание тут как раз не при чем, поскольку оно, безусловно, меняется при смене меры на эквивалентную. Как раз надо брать такие характеристики, которые зависят от процесса, но неслучайны. Например, квадратическую вариацию. Но это не то же самое, что вариация! Погуглите, это известная вещь.