2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Сингулярность распределений
Сообщение26.05.2012, 19:22 


27/12/11
10
Нужно доказать, что распределения $w_t$, $w_t + 1$ и $2w_t$ на $T = [0,1]$ сингулярны относительно друг друга, $w_t$ - винеровский процесс.

Для того, чтобы доказать сингулярность распределений $\mu_{\xi_.}$ и $\mu_{\eta_.}$ случайных функций $\xi_{.}$ и $\eta_{.}$ достаточно предъявить $\mathfrak{B}^T$-измеримый функционал $f$, такой что $f(\xi_.) = a$ с вероятностью 1, и $f(\eta_.) = b$ с вероятностью 1, где $a$ и $b$ различны.

Тогда для множества $C_a = \{x_.: f(x_.) = a\}$ распределения $\mu_{\xi_.} (C_a) = 1$, $\mu_{\eta_.}(C_a) = 0$, ну и распределения дополнений $\mu_{\xi_.}(\mathbb{R}^T \setminus C_a) = 0$ и $\mu_{\eta_.}(\mathbb{R}^T \setminus C_a) = 1$.

Помогите построить такие функционалы $f$, пожалуйста

 Профиль  
                  
 
 Re: Сингулярность распределений
Сообщение27.05.2012, 00:11 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


14/02/07
2648
С $w_t$ и $w_{t}+1$ сложностей быть не должно вообще. Думайте еще, это элементарно, Ватсон

Насчет второго... Вообще, две бесконечномерные гауссовские меры либо эквивалентны, либо сингулярны. Необходимым условие первого является равенство ковариационных операторов, а тут они в несколько раз отличаются.

Если нужно обойтись более стандартными фактами (хотя куда уж стандартнее), можно вспомнить про закон повторного логарифма или про квадратическую вариацию.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сингулярность распределений
Сообщение27.05.2012, 11:24 


27/12/11
10
Ну, с $w_t$ и $w_t +1$ понятно, пользуемся тем, что при $t=0$ они равны почти наверное нулю и единице соответственно, в качестве функционала берем, к примеру, математическое ожидание, от $w_t$ оно равно нулю, ну а от $w_t + 1$ единице.

Сейчас попробую разобраться с $2w_t$...

-- 27.05.2012, 11:51 --

А, ну функция неограниченной вариации же, спасибо, кажется разобрался!

 Профиль  
                  
 
 Re: Сингулярность распределений
Сообщение28.05.2012, 14:01 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


14/02/07
2648
sxdxfan в сообщении #577038 писал(а):
Ну, с $w_t$ и $w_t +1$ понятно, пользуемся тем, что при $t=0$ они равны почти наверное нулю и единице соответственно, в качестве функционала берем, к примеру, математическое ожидание, от $w_t$ оно равно нулю, ну а от $w_t + 1$ единице.

Сейчас попробую разобраться с $2w_t$...

-- 27.05.2012, 11:51 --

А, ну функция неограниченной вариации же, спасибо, кажется разобрался!

Все не так, причем сильно не так. Математическое ожидание тут как раз не при чем, поскольку оно, безусловно, меняется при смене меры на эквивалентную. Как раз надо брать такие характеристики, которые зависят от процесса, но неслучайны. Например, квадратическую вариацию. Но это не то же самое, что вариация! Погуглите, это известная вещь.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group