падение камня с центробежной силой

[Антипка]

Параграф 38 "Соприкосновение твердых тел". Однако, при всем моем уважении к этому замечательному курсу физики и его авторам, теоретическую механику лучше изучать по учебникам теоретической механики, а не по ЛЛ1. Лично я предпочитаю Маркеева - главным образом потому, что он имеется у меня в бумажном виде. Приличных учебников много. Вот и тема голономности/неголономности затронута в ЛЛ1 вскользь - получился каламбур, так как контекст, в котором она там затронута - это как раз учет отсутствия проскальзывания при соприкосновение твердых тел (качение шара по плоскости).

Добавил: в Маркееве смотрите главу 10, параграф 4 "Уравнения движения неголономных систем". Там написано на порядок подробнее, чем в ЛЛ1. Если уж вам так хочется Лагранжа II рода, то там сказано, как это сделать.

[Munin]

Замечательно, нашёл.

Маркеева возьму, накидайте ещё названий.

[Антипка]

Munin писал(а):

Замечательно, нашёл.
Маркеева возьму, накидайте ещё названий.

Да они все очень похожи. правда, встречаются краткие эрзац-курсы, такие обычно малополезны. Просто надо отфильтровывать по числу страниц - чем больше, тем лучше. Ну вот сходу наиболее подробные:
- Суслов. Теоретическая механика.
- Уиттекер. Аналитическая динамика.
- Лойцянский, Лурье. Курс теоретической механики.
- Лурье. Аналитическая механика.

Можете посмотреть здесь, если вы "допущены к столу": Теоретическая механика в библиотеке мехмата, или вот здесь многое из этого совершенно свободно для скачивания: eqworld.ipmnet.ru/ru/library/mechanics/theoretical.htm

Но, повторю, лично мне больше всего нравится Маркеев.

[Munin]

Нет, я допущен к колхозу только :-)
А про Арнольда что скажете? И вообще, многие учебники относятся к 50-м годам, а то и вообще к 30-м (Леви-Чивита, например). Их стоит читать, или с тех пор математика и понимание предмета сильно поменялись?

[Dolopihtis]

Мне все-таки кажется , что Вы не совсем правильно находите функцию Лагранжа. Ведь на переменные , которые в нее входят наложены дополнительные условия. Тогда согласно правилам вариационного исчисления, надо находить минимум для функции вида

$$L={m\over 2}\dot{\Phi}^2{r_x}^2 + mgR_y + mgr_x\sin{\Phi} + \lambda(\dot{{R_x}}+(M(\Phi)\dot{r_x})_x)+\mu(\dot{{R_y}}+(M(\Phi)\dot{r_x})_y)$$

где

$$\lambda$$

и

$$\mu$$

- неопределенные множители Лагранжа. См. например Гельфанд ,Фомин "Вариационное исчисление". При этом у Вас исчезнут несовместные уравнения и пропадет зависимость от $R_x$ и $R_y$.

Еще хочу заметить , что у Вас не совсем правильно записано последнее уравнение Лагранжа для угла. Там левую часть надо еще раз продифференцировать по времени.(уравнение должно получиться второго порядка).

[Munin]

Да, про множители мне уже рассказали.

Я всё понимаю, просто ленюсь переделать.

[Антипка]

Munin писал(а):

Нет, я допущен к колхозу только
А про Арнольда что скажете? И вообще, многие учебники относятся к 50-м годам, а то и вообще к 30-м (Леви-Чивита, например). Их стоит читать, или с тех пор математика и понимание предмета сильно поменялись?

Ну в колхозе тоже книжек очень много, причем есть и такие, которых нет на мехмате. Про Арнольда скажу, что для математиков это будет лучше всего, для большинства же простого люда - слишком абстрактно. Насчет Леви-Чивиты - не знаю, но думаю, что где-то с момента возникновения квантовой механики в классической аналитической механике ничего принципиально нового появиться не может.

[Developer]

Munin
Посмотрел Ваши выкладки (от Пт Мар 09, 2007 19:08:12) и подумал, а почему бы Вам не поступить с ними несколько иначе, например так:
1) исходя из того, что

$$L={m{\dot{\mathbf{r}}^0}^2\over 2} + m\mathbf{gr}^0=const$$

, сразу продифференцировать функцию Лагранжа по времени и получить в инерциальной системе отсчёта хорошо известное и привычное уравнение движения камня в ней в виде

$${\dot{\mathbf{r}}^0}({\ddot{\mathbf{r}}^0}+{\mathbf{g}})=0$$

;
2) затем подставить в это уравнение (для выражения в скобках) полученное Вами преобразование

$$\ddot{\mathbf{r}}^0=\ddot{\mathbf{R}}+M(\Phi)\left(\dot{\Phi}^2M(\pi)\mathbf{r}+\ddot{\Phi}M(\textstyle{\pi\over 2})\mathbf{r}+2\dot{\Phi}M(\textstyle{\pi\over 2})\dot{\mathbf{r}}+\ddot{\mathbf{r}}\right)$$

;
3) теперь в уравнении движения камня в неинерциальной системе отсчёта, как Вы справедливо заметили, не только "...легко угадываются все три слагаемых вращательных "сил инерции" уравнения (39.7) ЛЛ-1: центробежное, неравномерности вращения и кориолисово", но и, добавлю от себя, "легко просматривается" и червёртое слагаемое, учитывающее силу поля тяготения;
4) мне кажется, останется только грамотно и аккуратно разделить переменные $\mathbf{R}$, $\mathbf{\Phi}$, $\mathbf{r}$ и получить решения уравнений движения для каждой координаты уже в неинерциальной системе отсчёта, проанализировать их и сделать соответствующие выводы;
5) от последующих выкладок лично я воздержусь, опасаясь окончательно запутаться...

[Someone]

Munin писал(а):

Я всё понимаю, просто ленюсь переделать.

Жаль. А я уж так раскатал губу посмотреть на результат... Мало ли что мне задача кажется некорректной, это не точное знание, а некое "ощущение".

[peregoudov]

Вот решение задачи Мунина.

Мунин не совсем правильно написал условия, определяющие подвижную систему координат. Правильные условия такие.

1. Условие ${\bf r}{\bf j}=0$ Мунина правильное.

2. Мгновенная ось вращения лежит на перпендикуляре к скорости. Чтобы начало координат неинерциальной системы лежало на перпендикуляре к скорости, нужно

$$ ({\bf r}^0-{\bf R})\dot{\bf r}^0=(\dot{\bf R} M(\Phi)+\dot{\bf r}){\bf r}=0. $$

3. Чтобы нормальное ускорение было равно $\dot\Phi^2r$ (а остальное, стало быть, тангенциальное), нужно

$$ ({\bf r}^0-{\bf R})(\ddot{\bf r}^0+\dot\Phi^2 M(\Phi){\bf r})= (\ddot{\bf R} M(\Phi)-2\dot\Phi\dot{\bf r} M({\textstyle\frac\pi2})+\ddot{\bf r}){\bf r}=0. $$

Далее я несколько упрощу обозначения Мунина. Координаты вектора ${\bf R}$ буду обозначать $X$ и $Y$, вектора ${\bf r}$ --- $x$ и $y$, вектора ${\bf r^0}$ --- $x_0$ и $y_0$, а вместо большого $\Phi$ буду писать малое $\phi$.

Если записать условия, определяющие подвижную систему координат через координаты, получим

$$ y=0,\quad \dot X\cos\phi+\dot Y\sin\phi+\dot x=0,\quad \ddot X\cos\phi+\ddot Y\sin\phi+\ddot x=0. $$

Два последних условия можно переписать в эквивалентном виде

$$ \dot X=-\dot x\cos\phi,\quad \dot Y=-\dot x\sin\phi. $$

Теперь собственно уравнения. Не накладывая пока никаких условий на движение подвижной системы координат, получаем лагранжиан

\begin{eqnarray*} &L=\frac12[\dot X^2+\dot Y^2+\dot x^2+\dot y^2+(x^2+y^2)\dot\phi^2 +2(\dot X\cos\phi+\dot Y\sin\phi)\dot x+\\ &+2(-\dot X\sin\phi+\dot Y\cos\phi)\dot y +2(-\dot X\sin\phi+\dot Y\cos\phi)\dot\phi\dot x-\\ &-2(\dot X\cos\phi+\dot Y\sin\phi)\dot\phi\dot y +2(x\dot y-y\dot x)\dot\phi] -g(Y+x\sin\phi+y\cos\phi).\nonumber \end{eqnarray*}

Уравнения Лагранжа имеют вид

\begin{eqnarray*} &\ddot x+\ddot X\cos\phi+\ddot Y\sin\phi-2\dot\phi\dot y-\ddot\phi y -\dot\phi^2 x+g\sin\phi=0,\\ &\ddot y-\ddot X\sin\phi+\ddot Y\cos\phi+2\dot\phi\dot x+\ddot\phi x -\dot\phi^2 y+g\cos\phi=0. \end{eqnarray*}

Теперь нужно учесть связи. Получаем уравнения

$$ \dot\phi^2 x-g\sin\phi=0,\quad \dot\phi\dot x+\ddot\phi x+g\cos\phi=0. $$

Эти уравнения можно свести к одному уравнению для $\phi$

$$ x=g\sin\phi/\dot\phi^2,\quad \ddot\phi-2\dot\phi^2\mathop{\rm ctg}\phi=0. $$

Решим теперь уравнения в подвижной системе координат, чтобы показать, что получается обычное движение материальной точки по параболе. Уравнение для $\phi$ имеет первый интеграл $\dot\phi/\sin^2\phi=c_1$, откуда находим $-\mathop{\rm ctg}\phi=c_1t+c_2$. Для координаты $x$ получаем

\begin{eqnarray*} &x=g\sin\phi/\dot\phi^2=g/c_1^2\sin^3\phi=\\ &=(g/c_1^2)(1+\mathop{\rm ctg}\nolimits^2\phi)^{3/2}= (g/c_1^2)[1+(c_1t+c_2)^2]^{3/2}\nonumber \end{eqnarray*}

Производные координат $X$ и $Y$ равны

$$ \dot X=(3g/c_1)(c_1t+c_2)^2,\quad \dot Y=-(3g/c_1)(c_1t+c_2), $$

а сами координаты

$$ X=(g/c_1^2)(c_1t+c_2)^3+c_3,\quad Y=-(3g/2c_1^2)(c_1t+c_2)^2+c_4. $$

Теперь запишем решение в неподвижных координатах

$$ x_0=d_1 t+d_2,\quad y_0=-gt^2\!/2+d_3 t+d_4. $$

Компоненты скорости и ускорения

$$ v_{0x}=d_1,\quad v_{0y}=-gt+d_3,\quad a_{0x}=0,\quad a_{0y}=-g. $$

Направление нормали в момент времени $t$ составляет угол

$$ -\mathop{\rm ctg}\phi=v_{0y}/v_{0x}=(-gt+d_3)/d_1 $$

с осью $x$. Нормальное ускорение равно

$$ a_n={\bf a}\times{\bf v}/v=gd_1[d_1^2+(-gt+d_3)^2]^{-1/2} $$

Из формулы $a_n=v^2\!/R$ определяем радиус кривизны

$$ R=[d_1^2+(-gt+d_3)^2]^{3/2}\!/gd_1 $$

Положение центра кривизны находим из соотношений

\begin{eqnarray*} &X=x_0-R\cos\phi=d_2+d_1d_3/g+(-gt+d_3)^3\!/gd_1,\\ &Y=y_0-R\sin\phi=d_4+(d_3^2-2d_1^2)/2g-3(-gt+d_3)^2\!/2g\nonumber \end{eqnarray*}

Как видно, формулы для $\phi$, $R$, $X$ и $Y$ совпадают с полученными в подвижной системе координат с точностью до обозначений.

[Шимпанзе]

Очень хорошо. Но Вы не ту задачу решали, посмотрите название темы и самый первый пост. Вы решали мою задачу ( смотрите второй пост) на основе центростремительного ( нормального) ускорения , в таком виде задача априори вполне разрешима.

Шимпанзе

[Антипка]

peregoudov писал(а):

Мунин не совсем правильно написал условия, определяющие подвижную систему координат. Правильные условия такие.
1. Условие ${\bf r}{\bf j}=0$ Мунина правильное.
2. Мгновенная ось вращения лежит на перпендикуляре к скорости. Чтобы начало координат неинерциальной системы лежало на перпендикуляре к скорости, нужно

$$ ({\bf r}^0-{\bf R})\dot{\bf r}^0=(\dot{\bf R} M(\Phi)+\dot{\bf r}){\bf r}=0. $$

Нет, условия-то Munin написал совершенно правильно, они те же самые, что и у вас, только выражены более просто. Уравнения кинематических (неголономных) связей не должны содержать вторых производных, они могут быть записаны исключительно в терминах обобщенных координат и их первых производных по времени, и тут у Munin'а все чисто. Ошибка Munin'а в другом, и он, собственно, сам понял, где она есть: "... что само по себе уже подозрительно...". Ошибка - в записи лагранжиана: неправомерно использовать уравнения неинтегрируемых связей для упрощения лагранжиана. Если записать лагранжиан без учета кинематических связей, а потом честно составить общее уравнение динамики, то мы получим правильный результат. Эквивалентный путь - составить уравнения Воронца для системы (это обобщения уравнений Лагранжа II рода на случай неголономных систем), но, понятно, что уравнения мы получим теже самые. Вчера я, наконец, нашел время сделать это, надеюсь в ближайшее время поделиться результатом.

Кстати, почему у вас получается всего два уравнения? У вас лагранжиан зависит от пяти обобщенных координат, следовательно [при использовании общего уравнения динамики или уравнений Лагранжа II рода] должно получиться 5 уравнений. Поясните, пожалуйста, ваш переход от Лагранжиана к уравнениям Лагранжа.

[Антипка]

Начнем с обозначений:
$(x_0 ,y_0)$ - координаты камня в неподвижной системе координат, ось y направлена вертикально вверх;
$(x_c ,y_c)$ - координаты начала отсчета подвижной системы координат в неподвижной системе;
$\varphi$ - угол поворота осей подвижной системы координат относительно осей неподвижной;
x - x-координата камня в подвижной системе, по условию камень всегда находится на оси х подвижной системы координат.
В качестве обобщенных координат системы выберем четверку $(x, \varphi, x_c ,y_c)$

Записываем геометрические соотношения между координатами:
$\left\{\begin{gathered}x_0=x_c+x\cos\varphi\hfill\\y_0=y_c+x\sin\varphi\hfill\\\end{gathered}\right$
Дифференцируем эти соотношения по времени, получаем:
$\left\{\begin{gathered}\dot x_0=\dot x_c+\dot x\cos\varphi-x\dot\varphi\sin\varphi\hfill\\\dot y_0=\dot y_c+\dot x\sin\varphi+x\dot\varphi\cos\varphi\hfill\\ \end{gathered}\right.$
Записываем выражение для кинетической энергии системы:
$T=\frac{m}{2}(\dot x_0^2+\dot y_0^2)$
$T=\frac{m}{2}(\dot x^2+x^2 \dot\varphi^2+\dot x_c^2+\dot y_c^2)+m(\dot x_c\dot x\cos \varphi + \dot y_c \dot x\sin \varphi - \dot x_c x\dot \varphi \sin \varphi + \dot y_c x\dot \varphi \cos \varphi )$
Записываем выражение для потенциальной энергии системы:
$\Pi=mgy_0=mgy_c+mgx\sin\varphi$
Получаем лагранжиан:
$L=\frac{m}{2}(\dot x^2+x^2 \dot\varphi^2+\dot x_c^2+\dot y_c^2)+m(\dot x_c\dot x\cos \varphi + \dot y_c \dot x\sin \varphi - \dot x_c x\dot \varphi \sin \varphi + \dot y_c x\dot \varphi \cos \varphi )-mgy_c-mgx\sin\varphi$

Ошибка Munin'а заключалась в том, что он существенно упростил этот лагранжиан, использовав уравнения неинтегрируемых связей. Этого делать действительно нельзя.

Теперь займемся кинематическими связями. Используем условие Munin'а - движение камня в любой момент времени есть вращение относительно некоторого мгновенного центра вращения, причем угловая скорость этого вращения равна$\dot\varphi$. Мгновенным центром вращения может служить любая точка на нормали к траектории камня, но второе условие неизбежно фиксирует этот центр в центре кривизны траектории камня для точки траектории, в которой камень находится в данный момент. Потому что нормаль к траектории камня в любой ее точке является касательной к ее эволюте. По мере того, как камень движется по траектории, центр подвижной системы координат движется по ее эволюте, причем мгновенная скорость начала подвижной системы координат перпендикулярна мгновенной скорости камня. Если мы выберем любой другой центр в качестве мгновенного центра вращения, это соотношение не будет выполняться.

Записываем это условие математически.
$\left\{ \begin{gathered}\dot x_0=-x\dot\varphi\sin\varphi\hfill\\ \dot y_0=x\dot\varphi\cos \varphi\hfill\\ \end{gathered}\right$
Избавляемся от $(x_0 ,y_0)$, не являющихся обобщенными координатами, с помощью полученного выше соотношения
$\left\{\begin{gathered}\dot x_0=\dot x_c+\dot x\cos\varphi-x\dot\varphi\sin\varphi\hfill\\\dot y_0=\dot y_c+\dot x\sin\varphi+x\dot\varphi\cos\varphi\hfill\\ \end{gathered}\right.$
Получаем кинематические уравнения связей:
$\left\{ \begin{gathered}\dot x_c + \dot x\cos \varphi = 0 \hfill \\ \dot y_c + \dot x\sin \varphi = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right$

Обратите внимание, peregoudov, что полученные уравнения неинтегрируемых кинематических (неголономных) связей в точности совпадают с вашими, причем получены они исходя из условия Munin'а.

Теперь, собственно, составляем уравнения Лагранжа II рода:
$\begin{gathered}\frac{{\partial L}}{{\partial \dot x}} = m(\dot x + \dot x_c \cos \varphi + \dot y_c \sin \varphi ) \hfill \\ \frac{d}{{dt}}\frac{{\partial L}}{{\partial \dot x}} = m(\ddot x + \ddot x_c \cos \varphi - \dot x_c \dot \varphi \sin \varphi + \ddot y_c \sin \varphi + \dot y_c \dot \varphi \cos \varphi ) \hfill \\ \frac{{\partial L}}{{\partial x}} = m(x\dot \varphi ^2 - \dot x_c \dot \varphi \sin \varphi + \dot y_c \dot \varphi \cos \varphi - g\sin \varphi ) \hfill \\ \frac{d}{{dt}}\frac{{\partial L}}{{\partial \dot x}} - \frac{{\partial L}}{{\partial x}} = m(\ddot x + \ddot x_c \cos \varphi + \ddot y_c \sin \varphi + g\sin \varphi ) \hfill \\ \end{gathered}$

$\begin{gathered} \frac{{\partial L}}{{\partial \dot \varphi }} = m(x^2 \dot \varphi - \dot x_c x\sin \varphi + \dot y_c x\cos \varphi ) \hfill \\ \frac{d}{{dt}}\frac{{\partial L}}{{\partial \dot \varphi }} = m(\ddot \varphi x^2 + 2\dot \varphi \dot xx - \dot x_c \dot x\sin \varphi + \dot y_c \dot x\cos \varphi - \ddot x_c x\sin \varphi + \ddot y_c x\cos \varphi - \dot x_c x\dot \varphi \cos \varphi - \dot y_c x\dot \varphi \sin \varphi ) \hfill \\ \frac{{\partial L}}{{\partial \varphi }} = m( - \dot x_c \dot x\sin \varphi + \dot y_c \dot x\cos \varphi - \dot x_c x\dot \varphi \cos \varphi - \dot y_c x\dot \varphi \sin \varphi - gx\cos \varphi ) \hfill \\ \frac{d}{{dt}}\frac{{\partial L}}{{\partial \dot \varphi }} - \frac{{\partial L}}{{\partial \varphi }} = m(\ddot \varphi x^2 + 2\dot \varphi \dot xx - \ddot x_c x\sin \varphi + \ddot y_c x\cos \varphi + gx\cos \varphi ) \hfill \\ \end{gathered}$

$\begin{gathered} \frac{{\partial L}}{{\partial \dot x_c }} = m(\dot x_c + \dot x\cos \varphi + x\dot \varphi \sin \varphi ) \hfill \\ \frac{d}{{dt}}\frac{{\partial L}}{{\partial \dot x_c }} = m(\ddot x_c + \ddot x\cos \varphi - 2\dot x\dot \varphi \sin \varphi - x\ddot \varphi \sin \varphi - x\dot \varphi ^2 \cos \varphi ) \hfill \\ \frac{{\partial L}}{{\partial x_c }} = 0 \hfill \\ \frac{d} {{dt}}\frac{{\partial L}}{{\partial \dot x_c }} - \frac{{\partial L}}{{\partial x_c }} = m(\ddot x_c + \ddot x\cos \varphi - 2\dot x\dot \varphi \sin \varphi - x\ddot \varphi \sin \varphi - x\dot \varphi ^2 \cos \varphi ) \hfill \\ \end{gathered}$

$\begin{gathered} \frac{{\partial L}}{{\partial \dot y_c }} = m(\dot y_c + \dot x\sin \varphi + x\dot \varphi \cos \varphi ) \hfill \\ \frac{d}{{dt}}\frac{{\partial L}}{{\partial \dot y_c }} = m(\ddot y_c + \ddot x\sin \varphi + 2\dot x\dot \varphi \cos \varphi + x\ddot \varphi \cos \varphi - x\dot \varphi ^2 \sin \varphi ) \hfill \\ \frac{{\partial L}}{{\partial y_c }} = - mg \hfill \\ \frac{d}{{dt}}\frac{{\partial L}}{{\partial \dot y_c }} - \frac{{\partial L}}{{\partial y_c }} = m(\ddot y_c + \ddot x\sin \varphi + 2\dot x\dot \varphi \cos \varphi + x\ddot \varphi \cos \varphi - x\dot \varphi ^2 \sin \varphi + g) \hfill \\ \end{gathered} $

Записываем уравнения Лагранжа с множителями связей, каждому уравнению связи соответствует свой множитель $\lambda_i$, коэффициент, с которым входит $\lambda_i$ в соответствующее уравнение Лагранжа для переменной $q_j$ - это множитель при $\dot q_j$ в i-том уравнении связей. Получаем следующие уравнения Лагранжа с множителями связей:
$\left\{ \begin{gathered} m(\ddot x + \ddot x_c \cos \varphi + \ddot y_c \sin \varphi + g\sin \varphi ) = \lambda _1 \cos \varphi + \lambda _2 \sin \varphi \hfill \\ m(\ddot \varphi x^2 + 2\dot \varphi \dot xx - \ddot x_c x\sin \varphi + \ddot y_c x\cos \varphi + gx\cos \varphi ) = 0 \hfill \\ m(\ddot x_c + \ddot x\cos \varphi - 2\dot x\dot \varphi \sin \varphi - x\ddot \varphi \sin \varphi - x\dot \varphi ^2 \cos \varphi ) = \lambda _1 \hfill \\ m(\ddot y_c + \ddot x\sin \varphi + 2\dot x\dot \varphi \cos \varphi + x\ddot \varphi \cos \varphi - x\dot \varphi ^2 \sin \varphi + g) = \lambda _2 \hfill \\ \end{gathered} \right$

Эти уравнения надо решать совместно с уравнениями неголономных связей:
$\left\{ \begin{gathered}\dot x_c + \dot x\cos \varphi = 0 \hfill \\ \dot y_c + \dot x\sin \varphi = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right$

Разбор полученных уравнений - в следующем посте.

[Антипка]

Чтобы избавиться от множителей связей, умножаем третье уравнение на $\cos\varphi$, а четвертое - на $\sin\varphi$, и вычитаем их из первого. Получаем 0=0. Это означает, что совокупность уравнений Лагранжа и уравнений связи не является независимой. Рассматриваем единственное осмысленное уравнение - второе:
$\ddot \varphi x^2 + 2\dot \varphi \dot xx - \ddot x_c x\sin \varphi + \ddot y_c x\cos \varphi + gx\cos \varphi = 0$
Чтобы избавиться от лишних переменных, дифференцируем по времени уравнения связи:
$\left\{ \begin{gathered} \ddot x_c = - \ddot x\cos \varphi + \dot x\dot \varphi \sin \varphi \hfill \\ \ddot y_c = - \ddot x\sin \varphi - \dot x\dot \varphi \cos \varphi \hfill \\ \end{gathered} \right$
Полученные выражения подставляем в наше уравнение, после приведения подобных членов и сокращения заведомо ненулевого x получаем следующий результат:
$\ddot \varphi x + \dot \varphi \dot x + g\cos \varphi = 0$
Собственно, это вполне ожидаемая формула - это становится очевидным, если переписать ее в следующей форме:
$\frac{d}{{dt}}(\dot \varphi x) = - g\cos \varphi $
То есть эта формула описывает касательное ускорение камня. Что удивительно, так это то, что в результате мы не получили формулу для нормального ускорения:
$\dot \varphi ^2 x - g\sin \varphi = 0$

Какие будут идеи? А идеи будут такими:
Ну вот, полностью разобрался в задаче, и, чтобы закрыть тему, привожу окончание решения.

Прежде всего вернемся к уравнениям Лагранжа II рода с множителями связей, приведенным в конце моего предыдущего поста, и, пользуясь уравнениями связей, избавимся от "лишних" переменных - $x_c, y_c$. Собственно, для второго уравнения это уже сделано. Сделаем для всех остальных. Для этого подставляем в эти уравнения выражения для $\ddot x_c, \ddot y_c$, полученне путем дифференцирования уравнений связи по времени. Получаем следующие уравнения:
$\left\{ \begin{gathered} m(g\sin \varphi - x\dot \varphi ^2 ) = \lambda _1 \cos \varphi + \lambda _2 \sin \varphi \hfill \\ \ddot \varphi x + \dot \varphi \dot x + g\cos \varphi = 0 \hfill \\ m( - (\ddot \varphi x + \dot \varphi \dot x)\sin \varphi - x\dot \varphi ^2 \cos \varphi ) = \lambda _1 \hfill \\ m((\ddot \varphi x + \dot \varphi \dot x)\cos \varphi - x\dot \varphi ^2 \sin \varphi + g) = \lambda _2 \hfill \\ \end{gathered} \right$
Выражаем касательное ускорение из второго уравнения и подставляем его в третье и четвертое уравнения, получаем следующие выражения для множителей связи:
$\left\{ \begin{gathered} \lambda _1 = m(g\sin \varphi - x\dot \varphi ^2 )\cos \varphi \hfill \\ \lambda _2 = m(g\sin \varphi - x\dot \varphi ^2 )\sin \varphi \hfill \\ \end{gathered} \right$
Подставляем их в первое уравнение, там все сокращается и получается 0=0.
Это значит, что совокупность уравнений движения при заданных условиях связи не является независимой. И при ближайшем рассмотрении становится понятно, почему. Дело в том, что по какой бы траектории ни двигался камень, условия связи могут быть соблюдены, если начало подвижной системы координат движется по эволюте этой траектории таким образом, что в любой момент времени это начало находится в центре кривизны траектории для точки траектории, в которой в данный момент находится камень. Таким образом, камень может лететь хоть по гиперболе, и все уравнения Лагранжа будут при этом выполняться.

Но ведь "в реальности плоской Земли" камень летит не по гиперболе, а по параболе? Все правильно, но приведенных условий недостаточно, чтобы реализовался именно этот вариант. Вернемся к множителям связи, - их физический смысл - это обобщенная сила взаимодействия (например, сила трения при качении тела по поверхности без проскальзывания), вынуждающая систему "исполнять ограничения". Но в нашем случае связь - чисто воображаемая, то есть реально никакой внешней силы (типа опоры и т.д.), вынуждающей систему двигаться именно так, нету. Поэтому мы обязаны дополнить систему следующим условием: $\lambda_1=\lambda_2=0$, откуда автоматически следует "недостающее" уравнение:
$x\dot\varphi^2=g\sin\varphi$
Таким образом, теперь мы получили полный комплект уравнений, описывающий движение системы в обобщенных координатах $(x,\varphi)$:
$\left\{ \begin{gathered} x\dot \varphi ^2 = g\sin \varphi \hfill \\ \ddot \varphi x + \dot \varphi \dot x = - g\cos \varphi \hfill \\ \end{gathered} \right$
Их можно решить аналитически, получив явное выражение для $x(t),\varphi(t)$, но, думаю, дальше уже никому не интересно.

[peregoudov]

Цитата:

Антипка:
Нет, условия-то Munin написал совершенно правильно,

Виноват, не проверил. Скорее, я имел в виду замечание Munin'а, что третье условие не является независимым, а следует из второго. Я просто по-другому интерпретировал математически условия задачи, так что "переопределенность" исчезла.

Цитата:

Поясните, пожалуйста, ваш переход от Лагранжиана к уравнениям Лагранжа.

А я не пользуюсь лагранжевой механикой со связями. Я рассуждаю по-другому. Пусть заранее известно, как движется неинерциальная система отсчета, то есть переменные $x_c$, $y_c$, $\phi$ считаются заданными функциями времени. Тогда мы просто переписываем лагранжиан в новых переменных $x$, $y$ и пишем уравнения Лагранжа в неинерциальной системе отсчета. Поэтому их два, как и в инерциальной, связанной с Землей. А уже потом учитываем связи, определяющие движение неинерциальной системы отсчета.

Конечно, должно получиться то же самое, что и при использовании уравнений лагранжевой механики со связями.

Цитата:

Какие будут идеи?

Ну, есть одна. Наверное, Вы неправильно написали в уравнениях члены, ответственные за связи. Нужно было дифференцировать уравнения связей по обобщенным координатам, а не по скоростям. Тогда правая часть будет отлична от нуля только во втором уравнении (для $\phi$). С учетом связей первое уравнение даст 0=0, а третье и четвертое --- то, что Вы хотели.