Абстрактная алгебра, задачи об идеалах

[IPA47]

Здравствуйте уважаемые форумчане.
Не могли бы вы помочь/подсказать в решении следующих задач:

1) Доказать, что если $I$ - идеал кольца $A$ с единицей, то факторкольцо $A/I$ тоже имеет единицу.
2) Доказать, что в целостном кольце из равенства для идеалов $(a)\cap(b)= (0)$ следует, что $a = 0$ или $b = 0$.

Буду очень благодарен за любую оказанную помощь...

-- 27.05.2012, 18:03 --

Сам пытался доказать 2 задачу следующим образом: если $I$ и $J$ - идеалы кольца $K$, то множество $I\cdot J = \{a_{1}\cdot b_{1} + a_{2}\cdot b_{2} + \ldots \left| a_{i} \in I, b_{i} \in J\right. \}$ является идеалом кольца K, причем $I\cdot J \subseteq I \cap J$. Следовательно, пересечение идеалов $(a)$ и $(b)$ содержит элемент $ab$, причем из условия получаем $ab = 0$. Отсюда (т.к. кольцо целостное) получаем, что $a = 0$ или $b = 0$.

Показал решение преподавателю, на что был получен ответ, что это как бы частное решение, рассматривание одного случая. После этого ничего нового не получается придумать

[Joker_vD]

1) Подумайте об элементе $1+I$ факторкольца $A/I$.
2) Все правильно, $ab$ лежит и в $(a)$, и в $b$, значит, лежит и в $(a)\cap(b)$, значит, равен нулю и либо $a=0$, либо $b=0$, так как кольцо целостное. Чего вашему преподу не понравилось — неясно. Никаких "один частный случай" тут нет.

[IPA47]

Спасибо! Почитаю еще всякую теорию на эту тему и буду пытаться сдать эту задачу.

Насчет первой задачи, пытался сдать следующее решение: Сопоставляя каждому элементу $a$ смежный класс $aI$, получаем сюръективный гомоморфизм $\varphi: A\rightarrow A/I$. Этот гомоморфизм называется естественным гомоморфизмом кольца на факторкольцо. Ну а дальше, по свойству гомоморфизма 1 отображается из одного кольца в другое.
Задачу тоже не приняли...

Мое решение каким-то образом пересекается с Вашей подсказкой? или все-таки нужно решать совершенно другим образом, отталкиваясь от Ваших слов?

[Joker_vD]

IPA47 в сообщении #577379 писал(а):

Мое решение каким-то образом пересекается с Вашей подсказкой?

Конечно. Осталось показать, что $1+I$ — единица кольца $A/I$. Просто подставьте в определение единицы и убедитесь, что оно выполняется.

[IPA47]

Не до конца понял, что нужно сделать. Я правильно понимаю, что элемент $1+I$ это общий вид единиц, лежащих в одном классе вычетов по модулю $I$? Не могли бы Вы поподробнее расписать, что нужно сделать? Просто я не понимаю, что не так в моем решении. Нужно было доказать, что существует единица, я вроде доказал. Но не могу понять, почему решение неполное или неправильное.

[Joker_vD]

IPA47 в сообщении #577475 писал(а):

Я правильно понимаю, что элемент $1+I$ это общий вид единиц, лежащих в одном классе вычетов по модулю $I$?

Нет. Это — класс вычетов по модулю $I$, который содержит $1$ из $A$. Вам надо показать, что этот класс является единичным элементом для операции умножения в кольце $A/I$.

[tavrik]

$I$ там идет за "0" а $I+1$ за"1"
так получается из за определений операций на классах.

-- Пн май 28, 2012 07:31:15 --

PS
там - в $A/I$

[IPA47]

Joker_vD в сообщении #577477 писал(а):

Вам надо показать, что этот класс является единичным элементом для операции умножения в кольце $A/I$

То есть так показать: $a'(1+I) = a'1 + a'I = a', (1+I)a' = 1a' + Ia' = a'$, где $a' \in A/I$ ?

[Joker_vD]

Нда, кажется, я понимаю, почему задачи завернули. Скажите-ка мне, из чего вообще состоит $A/I$?

[IPA47]

Простите, но я не могу дать корректного ответа...( Я попытался почитать еще теорию, но что-то до меня не доходит. Может Вы мне объясните? Просто я например не совсем понимаю запись $1+I$. Я понимаю, что это класс вычетов, представителем которого является $1$, но я не понимаю общий вид элементов этого класса. Если говорили бы про просто сравнения по модулю чисел из кольца $Z$, то там мне понятен общий принцип построения классов вычетов: берем остаток от деления элемента на модуль, какой остаток, к такому классу вычетов принадлежит элемент. Остальные элементы строятся многократным прибавлением модуля к остатку. Но в случае идеалов, я не пойму: для класса вычетов $1+I$ элементы этого класса это все возможные элементы, получаемые прибавлением к единице элементов из $I$ ?

[tavrik]

если вам понятно на примере $Z$, то рассмотрите на этом же примере идеалы $nZ$ и соответствуюшие факторкольца.
не забывайте, что на классе вычетов кольца определены две операции.
в отличии от групп.

[Joker_vD]

IPA47 в сообщении #577727 писал(а):

для класса вычетов $1+I$ элементы этого класса это все возможные элементы, получаемые прибавлением к единице элементов из $I$?

Ну да. Именно так. Идем дальше. Как задается операция умножения на $A/I$? Т.е. чему равно $(a+I)(b+I)$?

[IPA47]

$(a+I)(b+I)=ab+I$

[Joker_vD]

Хорошо. Чему равно произведение $a+I$ и $1+I$?

[IPA47]

$a+I$