Вычислить сумму числового ряда.

[slabiymatematic]

Доброго времени суток всем, будьте добры, подскажите где я допустил ошибку:
Ряд:
$\frac {1}{1*2*3}+\frac{1}{2*3*4}+\frac{1}{3*4*5}+... $

S=$\frac{1}{n*(n+1)*(n+2)}$
$\frac{1}{1*2*3}+\frac{1}{2*3*4}+\frac{1}{3*4*5}+...+\frac{1}{(n-1)*n*(n+1)}+\frac{1}{n*(n+1)*(n+2)}=(1-\frac{1}{2}-\frac{1}{3})+(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}-\frac{1}{4})+(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}-\frac{1}{5})+((\frac{1}{n-1})-(\frac{1}{n})-(\frac{1}{n+1}))+((\frac{1}{n})-(\frac{1}{n+1})-(\frac{1}{n+2}))=1+(\frac{-1}{2}+\frac{1}{2})+(\frac{-1}{3}+\frac{1}{3})+(\frac{-1}{4}+\frac{1}{4})+...+((\frac{-1}{n})+(\frac{1}{n}))-\frac{1}{n+1})=1-\frac{1}{n+1}$
Ну дальше нахожу предел от S= lim Sn, при n-> бесконечн. =$(1-\frac{1}{n+1})$=1-0=1
Правильно ли я вычислил? Заранее спасибо.

[dikiy]

это невозможно прочитать. Оформите пожалуйста формулы в latex.

[Sonic86]

topic183.html - тут написано, как оформлять формулы.

[slabiymatematic]

разбирался в мате, так и не нашел как поставить грани у суммы, пожалуйста, расскажите подробней как мне оформить в латексе дроби=/

[Sonic86]

дробь вот: $\frac{a}{b}$, сумма вот: $\sum\limits_{k=1}^{n}a_{k}$. Наводите мышкой на формулы - увидите их код.

[slabiymatematic]

Sonic86 в сообщении #577204 писал(а):

дробь вот: $\frac{a}{b}$, сумма вот: $\sum\limits_{k=1}^{n}a_{k}$. Наводите мышкой на формулы - увидите их код.

спасибо, с суммой не стал заморачиваться - вроде бы все понятно.

[dikiy]

хм. Вы, судя по всему, неправильно в "телескопической" сумме члены посокращали. У меня получилось

$$S=1-\frac 1 3 -\frac 1 4 - \frac 1 5 -\frac 1 6 ... $$

то есть предел будет $-\infty$.

[Tanechka]

slabiymatematic, разве $\frac{1}{(n-1)\cdot n \cdot(n+1)}=\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$

[slabiymatematic]

dikiy в сообщении #577231 писал(а):

хм. Вы, судя по всему, неправильно в "телескопической" сумме члены посокращали. У меня получилось

$$S=1-\frac 1 3 -\frac 1 4 - \frac 1 5 -\frac 1 6 ... $$

то есть предел будет $-\infty$.

я так и думал, но вот, к сожалению, как у вас сократить не получилось, если вас не затруднит - распишите пожалуйста. Исходя из вашего результата - мой ряд не сходится и вычислению не подлежит?:)

[dikiy]

и то верно :)

-- 27.05.2012, 15:39 --

Цитата:

я так и думал, но вот, к сожалению, как у вас сократить не получилось, если вас не затруднит - распишите пожалуйста. Исходя из вашего результата - мой ряд не сходится и вычислению не подлежит?:)

Вы оказывается до этого уже ошиблись.

[slabiymatematic]

Tanechka в сообщении #577233 писал(а):

slabiymatematic, разве $\frac{1}{(n-1)\cdot n \cdot(n+1)}=\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$

хм, действительно ведь..
Возможно,правильно будет:
$\frac{1}{(n-1)*n*(n+1)}=\frac{1}{(n-1)^2}-\frac{1}{n}$

[dikiy]

ну а Вы сами проверьте :)

[slabiymatematic]

Да уж...Стесняюсь спросить, а как тогда можно разложить?

[dikiy]

разложить можно как $\frac 1 {(n-1)n(n+1)} = \frac 1 2 (\frac 1 {n-1} + \frac 1 {n+1}) - \frac 1 n $

-- 27.05.2012, 16:12 --

slabiymatematic в сообщении #577270 писал(а):

Да уж...Стесняюсь спросить, а как тогда можно разложить?

когда трудно увидеть разложение частенько помогает вот такой метод:

$\frac A n + \frac B {n-1} + \frac C {n+1} = \frac {(A+B+C)n^2+(B-C)n-A} {(n-1)n(n+1)}$

отсюда имеем систему:

$A+B+C=0, B-C=0, -A=1$

-- 27.05.2012, 16:18 --

а теперь подставляя разные n увидим, что

$\sum_{n=2}^{\infty} \left(\frac 1 {n-1} + \frac 1 {n+1}\right) = 1+\frac 1 2 + 2\sum_{n=3}^{\infty} \frac 1 n $

[slabiymatematic]

dikiy в сообщении #577273 писал(а):

разложить можно как $\frac 1 {(n-1)n(n+1)} = \frac 1 2 (\frac 1 {n-1} + \frac 1 {n+1}) - \frac 1 n $

-- 27.05.2012, 16:12 --

slabiymatematic в сообщении #577270 писал(а):

Да уж...Стесняюсь спросить, а как тогда можно разложить?

когда трудно увидеть разложение частенько помогает вот такой метод:

$\frac A n + \frac B {n-1} + \frac C {n+1} = \frac {(A+B+C)n^2+(B-C)n-A} {(n-1)n(n+1)}$

отсюда имеем систему:

$A+B+C=0, B-C=0, -A=1$

-- 27.05.2012, 16:18 --

а теперь подставляя разные n увидим, что

$\sum_{n=2}^{\infty} \left(\frac 1 {n-1} + \frac 1 {n+1}\right) = 1+\frac 1 2 + 2\sum_{n=3}^{\infty} \frac 1 n $

огромное спасибо:)