Результаты опыта Хафеле-Китинга противоречат СТО

[Someone]

В дополнение к предыдущему сообщению - траектории движения аэродрома и самолётов в рассмотренной там ИСО.

Траектория аэродрома - циклоида (линия с "остриями", находящимися на оси $O'x'$); траектория самолёта, летящего на восток - удлинённая циклоида (линия с петлями); траектория самолёта, летящего на запад - укороченная циклоида (гладкая линия, монотонно идущая слева направо).
Как видим, скорости самолётов в этой ИСО существенно (и по-разному) изменяются в процессе полёта, поэтому нет никаких оснований делать какие-либо выводы о показаниях их часов в конце опыта, изучив только самое начало.

Система отсчёта, вращающаяся вместе с Землёй.

Здесь удобно пользоваться цилиндрическими координатами. Поэтому в ИСО, описанной в первом сообщении, перейдём к цилиндрическим координатам:

$$\begin{cases}x=r\cos\varphi,\\ y=r\sin\varphi\end{cases}\eqno{(26)}$$

(координаты $t$ и $z$ не заменяются).
Дифференцируя выражения (26), находим

$$\begin{cases}dx=\cos\varphi\,dr-r\sin\varphi\,d\varphi,\\ dy=\sin\varphi\,dr+r\cos\varphi\,d\varphi;\end{cases}\eqno{(27)}$$

подстановка этих выражений в формулу для интервала после небольших упрощений даёт

$$ds^2=c^2dt^2-dx^2-dy^2-dz^2=c^2dt^2-dr^2-r^2d\varphi^2-dz^2.\eqno{(28)}$$

Переход во вращающуюся с угловой скоростью $\omega$ систему координат осуществляется по формуле

$$\varphi=\varphi'+\omega t;\eqno{(29)}$$

(остальные координаты не заменяются). Дифференцируя это выражение, найдём

$$d\varphi=d\varphi'+\omega\,dt,\eqno{(30)}$$

что после подстановки в выражение (28) даёт

$$ds^2=\left(1-\frac{r^2\omega^2}{c^2}\right)c^2dt^2-2r^2\omega\,dt\,d\varphi'-dr^2-r^2d\varphi'^2-dz^2.\eqno{(31)}$$

Во избежание недоразумения отметим, что временнáя координата $t$ не совпадает с собственным временем часов, расположенных на аэродроме.
Уравнения движения аэродрома и самолётов в первоначальной ИСО в цилиндрических координатах имеют следующий простой вид:

\begin{tabular}{lll}Аэродром&Восточный самолёт&Западный самолёт\\ $\varphi=\omega t+\varphi_0$ & $\varphi=\omega_+t+\varphi_0$ & $\varphi=\omega_-t+\varphi_0\qquad\qquad\eqno{(32)}$ \end{tabular}

(во всех случаях $r=r_0$, $z=z_0$ и $\varphi_0=\frac{\pi}2$).
Используя соотношение (29), найдём уравнения движения во вращающейся системе.

\begin{tabular}{lll}Аэродром&Восточный самолёт&Западный самолёт\\ $\varphi'=\varphi_0$ & $\varphi'=(\omega_+ -\omega)t+\varphi_0$ & $\varphi'=(\omega_- -\omega)t+\varphi_0\qquad\eqno{(33)}$ \end{tabular}

Заметим, что возвращению самолёта на аэродром соответствует момент времени, когда угловое расстояние между ним и аэродромом достигнет $2\pi$, поэтому по координатному времени моменту возвращения восточного самолёта соответствует $t_+=\frac{2\pi}{\omega_+ -\omega}$, а моменту возвращения западного - $t_-=\frac{2\pi}{\omega-\omega_-}$; учитывая, что $l=2\pi r_0$, $u=r_0\omega$, $v_+=r_0\omega_+$ и $v_-=r_0\omega_-$, легко проверить, что эти выражения совпадают с $(2_+)$ и $(2_-)$.
Подставляя в выражение (31) $r=r_0$ и $z=z_0$, получим

$$ds^2=\left(1-\frac{r_0^2\omega^2}{c^2}\right)c^2dt^2-2r_0^2\omega\,dt\,d\varphi'-r_0^2d\varphi'^2;\eqno{(34)}$$

подставляя это выражение в формулу (4), получим взамен формулы (6)

\begin{multline*}\tau=\frac 1c\int\limits_{\Gamma}\sqrt{\left(1-\frac{r_0^2\omega^2}{c^2}\right)c^2dt^2-2r_0^2\omega\,dt\,d\varphi'-r_0^2d\varphi'^2}=\\ =\int\limits_{t_1}^{t_2}\sqrt{1-\frac{r_0^2\omega^2}{c^2}-\frac{2r_0^2\omega}{c^2}\frac{d\varphi'}{dt}-\frac{r_0^2}{c^2}\left(\frac{d\varphi'}{dt}\right)^2}dt.\qquad\eqno{(6')}\end{multline*}

Для аэродрома $\frac{d\varphi'}{dt}=0$, поэтому (6') превращается в

$$\tau=\int\limits_{t_1}^{t_2}\sqrt{1-\frac{r_0^2\omega^2}{c^2}}dt=\int\limits_{t_1}^{t_2}\sqrt{1-\frac{u^2}{c^2}}dt=\sqrt{1-\frac{u^2}{c^2}}(t_2-t_1),\eqno{(35)}$$

что, очевидно, совпадает с (7), куда в качестве скорости движения часов $v$ в ИСО центра Земли подставлена скорость аэродрома $u$. Поэтому вычисление времени прилёта самолётов по времени аэродрома даст те же результаты (8) и (10), которые получены в первом сообщении.
Для самолёта, летящего на восток, $\frac{d\varphi'}{dt}=\omega_+ -\omega$. Подставляя это в формулу (6'), получим

\begin{multline*}\tau=\int\limits_{t_1}^{t_2}\sqrt{1-\frac{r_0^2\omega^2}{c^2}-\frac{2r_0^2\omega}{c^2}(\omega_+ -\omega)-\frac{r_0^2}{c^2}(\omega_+ -\omega)^2}dt=\\ =\int\limits_{t_1}^{t_2}\sqrt{1-\frac{r_0^2\omega_+^2}{c^2}}dt=\int\limits_{t_1}^{t_2}\sqrt{1-\frac{v_+^2}{c^2}}dt=\sqrt{1-\frac{v_+^2}{c^2}}(t_2-t_1),\qquad\eqno{(35_+)}\end{multline*}

что совпадает с формулой (7), если подставить в неё в качестве скорости часов $v$ скорость восточного самолёта$v_+$ в ИСО центра Земли. Поэтому расчёт времени полёта восточного самолёта по его собственным часам даст тот же результат (9), что и ранее.
Аналогично, для самолёта, летящего на запад, $\frac{d\varphi'}{dt}=\omega_- -\omega$, что при подстановке в (6') даёт

\begin{multline*}\tau=\int\limits_{t_1}^{t_2}\sqrt{1-\frac{r_0^2\omega^2}{c^2}-\frac{2r_0^2\omega}{c^2}(\omega_- -\omega)-\frac{r_0^2}{c^2}(\omega_- -\omega)^2}dt=\\ =\int\limits_{t_1}^{t_2}\sqrt{1-\frac{r_0^2\omega_-^2}{c^2}}dt=\int\limits_{t_1}^{t_2}\sqrt{1-\frac{v_-^2}{c^2}}dt=\sqrt{1-\frac{v_-^2}{c^2}}(t_2-t_1);\qquad\eqno{(35_-)}\end{multline*}

это совпадает с выражением (7), если подставить в него в качестве скорости часов $v$ скорость западного самолёта $v_-$ в ИСО центра Земли. Поэтому для западного самолёта также получаем уже знакомый по первому сообщению результат (11).

Таким образом, во всех трёх системах отсчёта результаты, как и положено, получаются одинаковые.