Что такое матрица плотности?

[Lukum]

Munin писал(а):

определение наблюдаемой в КМ: берём любой эрмитов оператор, и его собственные значения называем наблюдаемой физической величиной.

красиво, оказывается мы измеряем собств.числа неких динамических систем

Munin писал(а):

Для квантовой системы при этом получится набор случайных значений. У квантовой системы нет траектории.

Употребляя слово траектория я имел ввиду, последовательность измерений характеристики, нанесенную на график, по горизонтальной оси момент измерения, по вертикальной оси значение характеристики.
Например, для дискретного случайного блуждания и в марковских процессах допустимо слово траектория.
Возможно более корректно было сказать так: "траектория значений параметра".

Munin писал(а):

Точнее, если её не измерять, а оставить в покое, то её квантовый вектор состояния будет совершать какую-то эволюцию в пространстве состояний (но не в пространстве параметров!). Но наблюдать её будет нельзя, можно будет её только измерить в начале и в конце.

Т.е. получается, что за именно за характеристики в векторе состояния мы не знаем.
Когда измеряем, то получаем собственное число, проекцию каких-то состояний (характеристик) на измеряемый параметр.

[Munin]

Lukum в сообщении #577017 писал(а):

Употребляя слово траектория я имел ввиду, последовательность измерений характеристики, нанесенную на график, по горизонтальной оси момент измерения, по вертикальной оси значение характеристики.
Например, для дискретного случайного блуждания и в марковских процессах допустимо слово траектория.
Возможно более корректно было сказать так: "траектория значений параметра".

В математическом смысле это, наверное, траектория, просто в физике принято это так не называть, чтобы не путать с траекторией классической системы. В физике принято говорить "эволюция квантового состояния".

Lukum в сообщении #577017 писал(а):

Т.е. получается, что за именно за характеристики в векторе состояния мы не знаем.
Когда измеряем, то получаем собственное число, проекцию каких-то состояний (характеристик) на измеряемый параметр.

Да. Но есть обходной путь. Мы можем поставить много экспериментов, в которых задать одинаковые начальные условия, и провести в них разные измерения. Тогда мы получим сведения не об одной проекции вектора состояния, а о разных проекциях, и в разные моменты времени. И тогда, можно подобрать такой вектор состояния, и его эволюцию, чтобы они удовлетворяли этому множеству измерений. Разумеется, у нас нет гарантий, что за этим не стоит что-то ещё, но та картина, которая получается, нас устраивает, мы не видим в ней каких-то скрытых течений и подводных камней.

[Lukum]

Да, это мне понятно.

Можно наверное перейти к вопросу о комплексных числах?
Как они у вас (у физиков) "затесались" или "проявились" в операторах-матрицах?

ps
Я понимаю математиков, когда им понадобилось вычислять корни из отрицательных чисел, они добавили комплексную ось и стали работать с комплексными числами. Ряд задач стал решаться легче и т.п.

Подозреваю, что и физики ощутили похожие потребности.
Понятно, что компл.числа можно заменить было матрицами 2х2 и было бы тоже самое.

[Munin]

Да, в принципе, сначала просто потребовались величины, такие, что их квадрат равен отрицательному числу. И в их качестве взяли комплексные числа. А потом потребовались величины, произведение которых некоммутативно. И тут уже стали использовать матрицы. Можно было сразу взять матрицы, и обойтись вещественными, но по сути они были бы строго эквивалентны соответствующим комплексным, так что разницы всё равно нет.

[Lukum]

Все таки хотелось бы поговорить о кубике с использованием языка квантовой механики.
Я понимаю, что не совсем корректно, но по моему некоторые относительно корректные аналогии можно проводить.

Предполжим квантовая система находится в суперпозиции чистых состояний и пусть таких состояний шесть.
Это похоже на кубик до броска. Бросили кубик - произвели измерение. Получили число 2 например - измерили квантовую систему, получили вероятностный результат в виде собственного числа.
Допустима такая аналогия к вероятностному процессу "бросок кубика"?

[g______d]

Мне кажется, в википедии про это довольно неплохо написано.

http://en.wikipedia.org/wiki/Density_matrix

Главный вопрос --- что означает "суперпозиция чистых состояний". Суперпозиция может быть квантовой (тогда это тоже чистое состояние, представляющее собой сумму ортогональных базисных с коэффициентами $\frac{1}{\sqrt{6}}$) или классической (тогда это матрица плотности: сумма проекторов на эти ортогональные базисные состояния с коэффициентами $\frac16$). Разницу между ними можно увидеть, проведя измерение с помощью квантового прибора. Как я понимаю, классический прибор не увидит разницы (правда ли это?).

Посмотрите по этой же ссылке еще опыт с поляризацией света.

Я предполагаю, что на самом деле матриц плотности так в явном виде не существует. Это некая абстракция, позволяющая свести какие-то статистические задачи о многочастичном операторе к одночастичному. Это упрощает дело, но это некоторое приближение. В том же примере с поляризацией матрица плотности возникает, если мы рассматриваем сразу много фотонов, и у нас есть какой-то внешний фактор, который мы не контролируем, и который отвечает за то, какой волновой функцией будет обладать фотон. И результат, который мы получаем, --- это нечто, усреденное по всему ансамблю фотонов.

[Munin]

Lukum в сообщении #577383 писал(а):

Все таки хотелось бы поговорить о кубике с использованием языка квантовой механики.

Проблема в том, что о классическом кубике так говорить не имеет смысла.

Само по себе использование языка квантовой механики возносит обсуждаемую систему на квантовый уровень.

Lukum в сообщении #577383 писал(а):

Предполжим квантовая система находится в суперпозиции чистых состояний и пусть таких состояний шесть.
Это похоже на кубик до броска.

Нет. Кубик до броска - находится в смеси чистых состояний. Не в суперпозиции.

В случае суперпозиции между двумя состояниями всегда задана связь - комплексный коэффициент. Он играет роль "разности фаз" при интерференции, если мы взяли разные суперпозиции с разными "разностями фаз" - они будут вести себя отличимо друг от друга в экспериментах.

В случае смеси, такого коэффициента нет.

Lukum в сообщении #577383 писал(а):

Бросили кубик - произвели измерение. Получили число 2 например - измерили квантовую систему, получили вероятностный результат в виде собственного числа.
Допустима такая аналогия к вероятностному процессу "бросок кубика"?

Ну, да, но такой аналогией вы не приблизитесь к пониманию квантовых систем. На самом деле, надо двигаться наоборот: очистив свой разум, понять с нуля смысл квантовых систем и их поведения, и потом с удивлением обнаружить, как оно само по себе служит объяснением для классических и вероятностных систем. Но не наоборот.

-- 27.05.2012 22:36:58 --

g______d в сообщении #577394 писал(а):

Суперпозиция может быть... классической

В контексте квантовой физики это последовательно называют не суперпозицией (superposition), а смешанным состоянием, смесью (mixed state, mixture).

g______d в сообщении #577394 писал(а):

Я предполагаю, что на самом деле матриц плотности так в явном виде не существует. Это некая абстракция, позволяющая свести какие-то статистические задачи о многочастичном операторе к одночастичному. Это упрощает дело, но это некоторое приближение.

На самом деле, есть забавный познавательный парадокс: хотя мы и пользуемся всегда КМ для векторов состояния, как истинной картиной мира, но у нас нет никаких доказательств, что истинной картиной мира не является всегда только матрица плотности, и нет никаких способов доказать это.

[g______d]

Munin в сообщении #577397 писал(а):

В контексте квантовой физики это последовательно называют не суперпозицией (superposition), а смешанным состоянием, смесью (mixed state, mixture).

Да, согласен, было неточно сказано.

Munin в сообщении #577397 писал(а):

На самом деле, есть забавный познавательный парадокс: хотя мы и пользуемся всегда КМ для векторов состояния, как истинной картиной мира, но у нас нет никаких доказательств, что истинной картиной мира не является всегда только матрица плотности, и нет никаких способов доказать это.

Да, это один из вопросов интерпретации квантовой механики. Моя точка зрения состоит в том, что все разговоры про взаимодействие квантовых систем с классическими приборами --- это некоторое приближение. Например, у нас есть уравнение Шредингера от очень большого числа частиц, но некоторые очень слабо взаимодействуют друг с другом, и можно считать, что переменные делятся, и дальше рассматривать два уравнения независимо. Если мы в одном из двух уравнений используем квазиклассическое приближение, то то, что получилось, будет как раз взаимодействие квантовой системы с классической. Видимо, это то же самое, что интерпретация со множественностью миров.

Проблема всех остальных интерпретаций --- в том, что никакими разумными математическими средствами нельзя описать коллапс волнового пакета. И с физической точки зрения это довольно неестественный процесс.

[Munin]

g______d в сообщении #577404 писал(а):

И с физической точки зрения это довольно неестественный процесс.

Почему, физически как раз естественный. В эксперименте наблюдается постоянно.

[g______d]

Munin в сообщении #577417 писал(а):

Почему, физически как раз естественный. В эксперименте наблюдается постоянно.

И происходит мгновенно?

[Lukum]

Над этим постом "27.05.2012, 22:32" буду медитировать не спеша :)

g______d в сообщении #577404 писал(а):

Проблема всех остальных интерпретаций --- в том, что никакими разумными математическими средствами нельзя описать коллапс волнового пакета.

Возьмем функцию Y(n) =sign{ Х(n) } известно, что это последовательность случайных чисел, состоящая из {-1,1}
где X(n)=1-2*X(n-1)*X(n-1)
где sign(х)= {1, если х>0; -1, если х<0; 0, если x=0}

Вспоминаем о клеточных автоматах.
Предположим, каждый квантовый объект это такой автомат, который вычисляет эту функцию в дискретные моменты времени. Тогда производя эксперимент и измеряя например спин, мы будем получать то 1, то -1.
Но я от физики далек. Поэтому придумал себе такую аналогию.
ps
Не может ли некий такой или похожий механизм быть стандартным генератором случайности в микромире!?
Я не альтернативщик и у меня нет теорий всего сущего :)

[Munin]

g______d в сообщении #577422 писал(а):

И происходит мгновенно?

Нет, зачэм? Просто происходит, за какое-то время :-) Главное, что за это время сам волновой пакет не успевает проэволюционировать достаточно далеко, так что коллапс "ловит" его в состоянии, достаточно (для экспериментальных приближений) хорошо соответствующем мгновенному. Например, когда фотон стукается в электрон с люминофором, вспыхивает точка там, где был волновой пакет этого фотона.

Lukum в сообщении #577425 писал(а):

Не может ли некий такой или похожий механизм быть стандартным генератором случайности в микромире!?

Мы ничего не знаем о генерации случайности в микромире. Так что воображать про неё можем что угодно, главное, чтобы статистическая функция распределения воспроизводилась.

[g______d]

Munin в сообщении #577473 писал(а):

g______d в сообщении #577422 писал(а):

И происходит мгновенно?

Нет, зачэм? Просто происходит, за какое-то время Главное, что за это время сам волновой пакет не успевает проэволюционировать достаточно далеко, так что коллапс "ловит" его в состоянии, достаточно (для экспериментальных приближений) хорошо соответствующем мгновенному. Например, когда фотон стукается в электрон с люминофором, вспыхивает точка там, где был волновой пакет этого фотона.

Все-таки непонятно. При коллапсе детерминируемость нарушается? Т. е. в принципе нельзя написать однозначно разрешимое уравнение, описывающее мир? Или хотя бы поведение частицы?

[Munin]

У физиков бывает два стремления :-) Одни стремятся записать уравнение, описывающее мир. Другие стремятся описать то, что наблюдается в экспериментах. Я и то и другое в какой-то степени понимаю и уважаю, но нельзя заниматься и тем и другим одновременно. Точнее, пока нельзя. Не сходится одно с другим.

Частицу описать можно. Пока её не измеряют, она движется детерминированно. Когда её измеряют - подвержена коллапсу.

[g______d]

Munin в сообщении #577483 писал(а):

Частицу описать можно. Пока её не измеряют, она движется детерминированно. Когда её измеряют - подвержена коллапсу.

Ну да, но коллапс все-таки подразумевает наличие классического прибора, а на самом деле все приборы состоят из атомов и являются квантовыми. Наверное, правильной является точка зрения, что существует некоторый предельный переход при количестве частиц прибора, стремящемся к бесконечности, в котором он ведет себя как классический. И время коллапса будет какая-нибудь экспонента от минус количества частиц прибора или что-то вроде того.