Теория множеств (проверьте, пожалуйста, доказательство)

[Ktina]

$S$ - непустое подмножество вещественных чисел, для которого выполняется

$$\forall x, y\in\mathbb R, \quad x+y\in S \to xy\in S$$

Найти все такие подмножества.

(Попытка:)

По определению, $S$ - непустое. Возьмём некоторый его элемент $a$.

Так как $a=\frac{a}{2}+\frac{a}{2}$, имеем $\frac{a^2}{4}\in S$.

Поскольку $(\frac{a}{2}+b)+(\frac{a}{2}-b)$ также равно $a$ при любом вещественном $b$, имеем $\frac{a^2}{4}-b^2\in S$. Таким образом наше множество гарантированно "захватывает" все отрицательные числа и нуль.

Теперь возьмём любое положительное число $c$ и докажем, что оно также входит в наше множество.
Действительно, $c=(-1)\cdot(-c)$. Но поскольку $(-1)+(-c)=-c-1\in S$ (мы ведь доказали, что все отрицательные уже там), имеем $(-1)\cdot(-c)=c\in S$.

Таким образом, $S$ может быть только самим множеством вещественных чисел.

[Профессор Снэйп]

Ксюша, что с тобой? Вроде до сих пор в олимпиадный раздел нормальные задачи посылала, а тут сущую ерунду расписывает и сияет от радости, как новогодняя ёлка

Ну конечно же всё правильно, как иначе-то

-- Сб май 26, 2012 18:51:31 --

Хотя я бы $\{ x \in \mathbb{R} : x \leqslant 0 \} \subseteq S$ стал доказывать так:

1) $a = a + 0 \in S \Rightarrow 0 = 0 \cdot a \in S$.
2) $0 = -x + x \in S \Rightarrow - x^2 \in S$.

[Ktina]

Профессор Снэйп в сообщении #576638 писал(а):

Ксюша, что с тобой? ...

(Оффтоп)

Дело в том, что эта задача - тоже с олимпиады. И мне она показалась подозрительно лёгкой. Посему, решила перепроверить. Так, на всякий случай.