Производная дельта-функции

[oOOO]

Можете мне объяснить, откуда взялось выражение для производно дельта-ыункции?

-- 25.05.2012, 02:29 --

Мои мысли на этот счет
Дельта-ыункция за бесконечно малый промежуток времени изменяется от нуля до бесконечности
НАйдет скороть в этой точке
За бесконечно малое время функция прошла бесконечно большое расстояние, следовательно ее скорость будет бесконечность в квадрате
Получается производная от дельта-функции должна быть равна квадрату дельта-функции

[Munin]

Да, "за бесконечно малое время функция прошла бесконечно большое расстояние". Но! Потом за другое такое же время функция прошла такое же расстояние в отрицательную сторону. Так что да, там должна быть "бесконечность в квадрате", но две штуки: плюс и минус. Следующая производная - уже три штуки, и так далее.

А вот "квадрат дельта-функции" - вещь, которой не даётся никакого определения, и посчитать его нельзя.

[oOOO]

Цитата:

Так что да, там должна быть "бесконечность в квадрате", но две штуки: плюс и минус. Следующая производная - уже три штуки, и так далее.

а почему в определении производной дельта-функции ее нет

Цитата:

А вот "квадрат дельта-функции" - вещь, которой не даётся никакого определения, и посчитать его нельзя.

а дельта-функцию можно как-то посчитать?

[Joker_vD]

oOOO в сообщении #575954 писал(а):

а дельта-функцию можно как-то посчитать?

Дельта-функция — ненастоящая функция. Это приправа под знак интеграла, в чистом виде ее (как и перец) никто не ест. Просто Дираку захотелось, чтобы вместо $f(0)$ можно было писать $\int\limits_{-\infty}^{+\infty}f(t)\delta(t)\,dt$.

[Munin]

oOOO в сообщении #575954 писал(а):

а почему в определении производной дельта-функции ее нет

А вы где это определение берёте-то? Цитируйте, приводите ссылку.

Joker_vD в сообщении #575958 писал(а):

Дельта-функция — ненастоящая функция.

Да, точнее, дельта-функция - это странный математический объект под названием "обобщённая функция" (в англоязычной терминологии distribution). С ней можно интегрировать, но много других действий, разрешённых для обычной функции, для неё делать нельзя.

[oOOO]

Цитата:

А вы где это определение берёте-то? Цитируйте, приводите ссылку.

извиняюсь, его нету
Я имел ввиду вот это$$-я не знаю как писать интеграл и производную, но словами это-что интеграл по всей прямой от произведения производной дельта-функции на какую-то функцию равняется производной этой функции, взятойсо знаком минус
Это основное выражение с производной дельта-функции

Цитата:

Да, точнее, дельта-функция - это странный математический объект под названием "обобщённая функция" (в англоязычной терминологии distribution). С ней можно интегрировать, но много других действий, разрешённых для обычной функции, для неё делать нельзя.

а где обоснование
По-моему, ее можно не только возводить в квадрать, но и брать от нее логарифм

[ИСН]

Обоснование чего? Что некий объект из числа обобщённых функций подчиняется правилам теории обобщённых функций? Это её определение, а всё остальное - популярный звон.

[oOOO]

Цитата:

Что некий объект из числа обобщённых функций подчиняется правилам теории обобщённых функций?

а что это за теория такая?

[Munin]

oOOO в сообщении #576104 писал(а):

Я имел ввиду вот это-я не знаю как писать интеграл и производную, но словами это-что интеграл по всей прямой от произведения производной дельта-функции на какую-то функцию равняется производной этой функции, взятойсо знаком минус
Это основное выражение с производной дельта-функции

$\int_{-\infty}^{+\infty}\delta'(x-x_0)f(x)dx=f'(x_0)$
Пишется так:
$\int_{-\infty}^{+\infty}\delta'(x-x_0)f(x)dx=f'(x_0)$
Никакого минуса там быть не должно, если только, как в свёртке, не стоит $\delta'(x_0-x),$ ну тогда понятно, почему минус: взята нечётная функция от противоположного аргумента.

oOOO в сообщении #576104 писал(а):

а где обоснование

oOOO в сообщении #576108 писал(а):

а что это за теория такая?

Теория называется "функциональный анализ", теория обобщённых функций - его часть.

[ewert]

Munin в сообщении #576122 писал(а):

$\int_{-\infty}^{+\infty}\delta'(x-x_0)f(x)dx=f'(x_0)$
Никакого минуса там быть не должно

Ну прям-таки.

[Munin]

А, точно, перепутал.

[theambient]

Знатоки, проясните неучу, что понимают, когда пишут, скажем

$$ \Delta G = \delta(x-x_0)? $$

то, что

$$ \int G(x,x_0) \Delta f(x) dx = \Delta f( x_0 )? $$

[Munin]

Здесь дельта - это оператор Лапласа, с ним записано уравнение Пуассона, а для него - функция Грина, позволяющая его решить. Предмет называется "уравнения математической физики". К дельта-функции относится довольно косвенно.

[theambient]

откуда это взялось и что за закорючки там написаны мне известно, но не совсем укладывается в голове как это понимать формально

а так - да, функция точечного влияния, она же функция Грина, но что она из себя тут представляет. Вроде как она обыкновенная функция, но в правой части стоит сингулярная обобщенная функция, поэтому и возникает диссонанс: регулярная из сингулярной.

[ewert]

theambient в сообщении #576350 писал(а):

что понимают, когда пишут, скажем

Вне рамок теории обобщённых функций -- это некоторый жаргон. Т.е. это некоторые эвристические соображения (к которым, в конце-то концов, со времён Дирака все уж давно привыкли), после которых те же результаты можно обосновать и на вполне классическом языке.

Ну а в рамках -- это просто по определению.