матрица из одного элемента

[Kefir4ik]

Помогите пожалуйста разобраться: бывает ли матрица из одного элемента. Например (1). И если да, то есть ли для нее обратная(а именно интересует не равен ли нулю определитель).

[Unconnected]

Думаю, бывает, и обратная к ней она сама и есть, а определитель 1.

[Kefir4ik]

а это точно? просто если взять квадратную матрицу, у которой все элементы единицы, любого другого размера, то у них определитель=0 и значит обратной нет. Это меня и запутывает.

[Munin]

Если единственный элемент этой матрицы не равен 1 (и не равен 0), то обратная матрица (тоже одноэлементная) содержит этот элемент в степени -1. Определитель равен единственному элементу.

-- 25.05.2012 02:46:48 --

Kefir4ik в сообщении #575955 писал(а):

а это точно? просто если взять квадратную матрицу, у которой все элементы единицы, любого другого размера, то у них определитель=0 и значит обратной нет. Это меня и запутывает.

Если взять квадратную матрицу любого размера, диагональную с единицами на диагонали, то её определитель 1. А ваша матрица - частный случай такой диагональной. Причина, по которой определители матриц из единиц бОльших размерностей равны нулю, для одномерных определителей не работает.

[svv]

Kefir4ik писал(а):

если взять квадратную матрицу, у которой все элементы единицы, любого другого размера, то у них определитель=0 и значит обратной нет. Это меня и запутывает.

В такой ситуации не единица виновата, а наличие линейно зависимых строк (или столбцов). В частности, линейно зависимы две одинаковые строки, хоть единица там будет, хоть другое число (или числа). А в матрице $1\times 1$ её единственная строка линейно независима (если элемент ненулевой).

[Kallikanzarid]

Бывает и из нуля элементов.

[Евгений Машеров]

1. Бывает. (Даже из нуля может быть, но это уже курьёз, а вот матрица 1х1 элемент вполне может появиться в реальных вычислениях).
2. Обратная для неё матрица такого же размера, и её единственный элемент обратен единственному элементу обращаемой матрицы.$g_{1,1}=\frac 1 {a_{1,1}}$
3. Определитель равен единственному элементу матрицы. Это ясно из явного выражения для определителя.

[Kallikanzarid]

Евгений Машеров в сообщении #576001 писал(а):

1. Бывает. (Даже из нуля может быть, но это уже курьёз, а вот матрица 1х1 элемент вполне может появиться в реальных вычислениях).

Курьез курьезом, но без него категория матриц не была бы абелевой