Диф. уравнение с пуассоновской правой частью

[Хорхе]

Не надо расписывать. Я понял, что там происходит. Вы ищите стационарное распределение так, как будто процесс является дифузионным, - это, безусловно, ерунда. Вот и получилось у Вас стационарное распределение уравнения Орнштейна-Уленбека, то есть гауссовское, что совершенно логично.

Хотя уравнение выписать, конечно, можно. Оно будет выглядеть так:

$$ A^*\mu= \frac{d (ax\mu)}{d x} + \lambda(\mu(x-1) - \mu(x)) = 0. $$

В левой части стоит сопряженный оператор к генератору процесса. (Генератор процесса у нас $Af(x) = -axf(x) +\lambda(f(x+1)-f(x))$.) Это дифференциальное уравнение с запаздыванием, я такое решать не умею. Зато я знаю, что оператор сдвига в спектральной области превращается в оператор умножения на гармонику Таким образом, переходя к преобразованию Фурье (характеристической функции) $\varphi$, получим

$$\gathered -i at (-i \varphi'(t)) + \lambda(e^{it}\varphi(t) - \varphi(t))=0\\ \varphi'(t) = \frac{\lambda (e^{it}-1)}{at}\varphi(t), \endgathered$$

то есть в точности то же самое уравнение, что и выше (только уже для всех $\lambda$ и $a$). Решая, получаем такую же формулу, как я уже писал.

[Theoristos]

Хорхе в сообщении #574932 писал(а):

Не надо расписывать. Я понял, что там происходит. Вы ищите стационарное распределение так, как будто процесс является дифузионным, - это, безусловно, ерунда. Вот и получилось у Вас стационарное распределение уравнения Орнштейна-Уленбека, то есть гауссовское, что совершенно логично.

Вот этого я не понял. На каком этапе вводится предположение что процесс дифузионный? (и что именно это означает, гауссовский вид функции в правой части?)
Вроде прямое уравнение Колмогорова определяет функцию вероятности перехода для довольно общего класса процессов. Проблема в определении функций $a$ и $b$?

Перелопатил довольно много книг, в паре книг приводится нахождение стац. распределения решений этого уравнения с гауссовским шумом в правой части, и говорится что для последовательности импульсов метод решения тот же. В одной приводится решение этим методом для случайных импульсов... но с гауссовским распределением амплитуд. Там тоже получается нормальное распределение. В чём отличие от последовательности неотрицательных импульсов одинаковой формы?

Цитата:

Хотя уравнение выписать, конечно, можно. Оно будет выглядеть так:

Да, вот что-то подобное я получал когда ковырялся ещё сам, без Колмогорова. И тоже не знал как решить.

Построил кстати это распределение, если нигде не напортачил, для $\lambda / a = 1$ оно получилось довольно своеобразным. От 0 до 1 равномерное распределение, а дальше экспоненциальный хвост $e^{-c_1 x - c_2 x^2}$.

Ещё попробую позаниматься с ним, я такого не ожидал.

[Хорхе]

Еще раз: то уравнение, которое Вы писали, оно только для дифузионных процессов. (Это видно по второй производной.) В общем случае (прямое) уравнение Колмогорова для распределения в момент $t$ выглядит так, как я написал:

$$ \frac{\partial }{\partial t}p(t,x) = A^*_x p(t,x), $$

где $A^*$ -- сопряженный генератор. Соответственно, для инвариантного распределения левая часть равна нулю.

Оператор $A^*$, вообще говоря, интегро-дифференциальный. Если он дифференциальный, то он не выше чем второго порядка, а процесс является или неслучайным (порядок 1), или диффузионным (порядок 2).

Ну а в нашем случае он такой, как я написал.

Касательно вида плотности, это совершенно неудивительно. Ведь на отрезке $[0,1]$ при $a=\lambda$ уравнение выглядит как $\mu'(x) = 0$, то есть плотность на нем таки постоянная. На $[1,2]$ она убывает обратно пропорционально $x^2$, на $[2,3]$ -- обратно пропорционально $x^4$ и так далее. В принципе, даже формулу при желании можно написать, но лень.

[Theoristos]

Понятно, спасибо.
Посмотрю внимательней насчёт диффузионности, в тех книгах что смотрел, даже при явном выводе уравнения 2-го порядка из оператора $A^*$ четкого упоминания об этом не припомню.

[Theoristos]

Вроде разобрался. Общий оператор в кинетическом уравнении можно записать как бесконечный ряд по производным с коэффициентами при них (для данного уравнения) равными высшим моментам $F(t)$, уравнение Колмогорова обрезает его на втором моменте - дисперсии, случайная функция в правой части таким образом аппроксимируется гауссовским распределением со всеми вытекающими. Встреченным рассуждениям что решение для импульсной функции получается аналогично белому шуму место на мусорнике.
"Кумулянтный анализ негауссовых процессов ..." Малахова действительно неплохая книжка.

Ещё б узнать критерий по которому для заданного $F(t)$ можно пренебречь высшими моментами, оборвав цепочку...