Найти предел функции по кривой

[smisha]

Найти предел функции

$$ u=\begin{cases} \frac {ye^{-1/x^2}} {y^2+e^{-2/x^2}},&\text{если $x\ne0$;}\\ 0,&\text{если $x=0$;}\\ \end{cases} $$

в точке (0; 0) по кривой:
$x=\alpha t^m, y=\beta t^n, \alpha ^2 + \beta ^2 \ne 0, m, n \in N, t>0;$
доказать, что предел функции u в точке (0; 0) не существует.
Я подставлял x и y в функцию, пытался найти предел при $t \rightarrow +0.$

[ewert]

smisha в сообщении #572745 писал(а):

Я подставлял x и y в функцию, пытался найти предел при $t \rightarrow +0.$

Ну и что получилось?...

smisha в сообщении #572745 писал(а):

доказать, что предел функции u в точке (0; 0) не существует.

А вот это -- уже другой вопрос.

[gris]

А как пытались? Можно слегка преобразовать выражение и поискать предел довольно простой дроби. В числителе игрек, в знаменателе экспонента.

[ewert]

gris в сообщении #572758 писал(а):

Можно слегка преобразовать выражение и поискать предел довольно простой дроби

Нет, отвечать на первый вопрос лучше тупо в лоб. На второй -- да, лучше сделать замену.

[gris]

Я имел в виду разделить знаменатель на числитель и тогда в знаменателе будет сумма двух взаимообратных величин. Предел любой можно поискать по Лопиталю. Лопиталить $m$ раз, например.

[ewert]

gris в сообщении #572804 писал(а):

Лопиталить $m$ раз, например.

Нет, там (в первом вопросе) логически проще -- достаточно осознавать, что любая экспонента перешибает любую степень (или, по контексту, перешибается любой степенью), а это осознавать в любом случае обязательно. Ну а второй вопрос и вовсе должен быть очевиден.

[smisha]

gris
Я бы не задавал вопрос, если бы там получался предел довольно простой дроби. В это то и проблема, я не знаю, как тот предел найти.

[smisha]

ewert
Я осознаю, что экспонента быстрее к нулю сходится, но это надо доказать.

[ewert]

smisha в сообщении #575580 писал(а):

Я осознаю, что экспонента быстрее к нулю сходится, но это надо доказать.

Вообще-то это в такой задаче следует принимать уже как факт. Но если его доказывание вплоть до седых волос и далее есть самоцель -- что ж, просто лопитальте каждый раз заново.