Уравнение Фредгольма второго рода

[shtudent]

Я попытался решить такую задачу.
$F(x) - \lambda\int_{0}^{\pi}\sin(x - y)F(y)dy = \mu x$
Вопрос первый: Проверьте пожалуйста где я ошибся?
Решение:
Найдем сначала те значения $\lambda$ при которых уравнение имеет решение при всех $\mu$.
Подставим $F(x) = A\sin x + B\cos x$ и приравняем левую часть уравнения к нулю.
Получим:
$A\sin x + B\cos x - \lambda\int_{0}^{\pi}\sin(x - y)(A\sin y + B\cos y)dy = 0 $
С помощью нехитрых тригонометрических преобразований мы получаем следующее:
$(A + B\lambda\frac{\pi}{2})\sin x + (B - A\lambda\frac{\pi}{2}) = 0$
Здесь перейдем к системе:

$$ \begin{cases} A + B\lambda\frac{\pi}{2} = 0,\\ B - A\lambda\frac{\pi}{2} = 0. \end{cases} $$

Приравняем ее определитель к нулю и найдем значения $\lambda$:
$1 + \frac{\lambda^{2}\pi^{2}}{4} = 0$ Отсюда $\lambda = \pm \frac{2i}{\pi}$
Если $\mathbf{\lambda}$ не равно этим значениям то решение есть всегда при любом $\mathbf{\mu}$
Теперь найдем решения при $\lambda = \pm \frac{2i}{\pi}$
Вопрос последний: Как это сделать?

[svv]

У Вас $A$ и $B$ -- это просто числа, константы, не зависящие от $x$ ?

$F(x)=A+B$ претендует на то, чтобы быть решением, или это что-то вспомогательное?

[shtudent]

Извиняюсь, но это не моя ошибка. Я пишу A\sinx + B\cosx но все равно в редакторе выдается ошибка!

[svv]

Поставьте пробелы между \sin и x.

[shtudent]

Исправил, просто убрал "\"

[g______d]

Зачем там $\mu$? Мы же можем просто $F$ умножить на константу.

[shtudent]

В смысле зачем, это условие задачи.

[g______d]

Есть 2 способа решить эту задачу:

1. Понять, что интегральный оператор с ядром $\sin(x-y)$ --- это оператор ранга 2.

2. Воспользоваться разложением в ряд Фурье на $[0;\pi]$.

[shtudent]

Возсожны вы правы, но на самом деле мне сейчас нужно просто подставить эти значения $\lambda$ в систему и тем самым найти зависимость A и B. А потом подставить все это дело в исходное уравнение. Вот, вопрос второй по сути заключается в следующем, что делать с $\mu$?

[AKM]

shtudent в сообщении #575757 писал(а):

Извиняюсь, но это не моя ошибка. Я пишу A\sinx + B\cosx но все равно в редакторе выдается ошибка!

Это Ваша ошибка, и Вам на неё указали:

svv в сообщении #575759 писал(а):

Поставьте пробелы между \sin и x.

Команд \sina, \sinb, ... \sinz в $\LaTeX$'e нет, есть команда \sin.

Здесь рассказано, как набирать формулы (здесь подробнее). В теме Видео-пособия для начинающих форумчан можно посмотреть видео-ролик "Как записывать формулы".
Исправил.

[sup]

shtudent в сообщении #575752 писал(а):

Найдем сначала те значения $\lambda$ при которых уравнение имеет решение при всех $\mu$.
Подставим $F(x) = A\sin x + B\cos x$ и приравняем левую часть уравнения к нулю.

Очень странный метод решения. Если приравнять левую часть к 0 то получим
$0 = \mu x$,
что, очевидно, абсурдно (если только $\mu \neq 0$). Похоже, что Вы анализируете однородное уравнение.
В любом случае конструкция $A\sin x + B\cos x$ вполне может пригодиться.
Как Вы думаете, какой вид имеет слагаемое
$\int \limits_0^{\pi} \sin (x-y)F(y) dy$ ?
И как этим можно воспользоваться для решения Вашего уравнения?

[shtudent]

Цитата:

Очень странный метод решения. Если приравнять левую часть к 0 то получим
$0 = \mu x$,

Я имел ввиду решение однородного уравнения. То есть, наоборот, вместо $\mu x$ подставить нуль.

Мне нужно найти все значения $\lambda$ при которых уравнение разрешимо при любом $\mu$.
Поэтому, я действую согласно второй теореме Фредгольма:
$\textsf{Неоднородное интегральное уравнение разрешимо для любой правой части тогда и только тогда,}$\\ $\textsf{ когда однородное уравнение не имеет нетривиальных решений}$

[sup]

Просто я не сразу понял, что Вы "без лишних слов" рассматриваете однородное уравнение.
Но все же, какой вид имеет слагаемое
$\int \limits_0^{\pi} \sin (x-y)F(y) dy$ ?
Переписав уравнение в виде
$F(x) =\lambda \int \limits_0^{\pi} \sin (x-y)F(y) dy + \mu x$
получите и выражение для $F(x)$