2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Уравнение на сумму делителей.
Сообщение09.03.2007, 17:28 
Заслуженный участник


09/02/06
4382
Москва
Существует ли решение уравнения при x>2 :
$\sigma (x)=x+\phi (x).$

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение09.03.2007, 17:52 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5904
Новосибирск
Дык, вроде легко по индукции получается, что левая часть меньше правой.

Добавлено спустя 11 минут 2 секунды:

На двойке прокол. :oops:
Отсюда, если равенство возможно, то x обязано содержать степень двойки.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение09.03.2007, 17:56 
Заслуженный участник


09/02/06
4382
Москва
bot писал(а):
Дык, вроде легко по индукции получается, что левая часть меньше правой.

Добавлено спустя 11 минут 2 секунды:

На двойке прокол. :oops:
Отсюда, если равенство возможно, то x обязано содержать степень двойки.

Это не так даже для нечётных х, например при х=105 слева 192, справа 153.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение09.03.2007, 18:04 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5904
Новосибирск
И в самом деле, индукция не идёт - в разные стороны у меня неравенства были направлены. :oops:

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение09.03.2007, 18:33 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13435
с Территории
Задача такая вкусная, что позволю себе откусить неровный кусок с краю, а то пока искать полное решение, стопудово кто-нибудь опередит.
Если x чётное и больше 2, то левая часть строго больше 3/2 x, а правая - нестрого меньше. То есть никак.
Если x нечётное, то фи чётное, то есть сигма обязана быть нечётной, то есть x обязан быть полным квадратом...

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение10.03.2007, 10:38 
Заслуженный участник


09/02/06
4382
Москва
Это задача от Carlos Rivera. Пока вроде никто не решил. Мне удалось доказать, только что нечётное число $x=y^2$ имеет как минимум 4 различных простых делителя. И сильные ограничения на возможные значения $y=p_1^{k_1}p_2^{k_2}...p_m^{k_m}, \ a_i=(1-\frac{1}{p_i})(1-\frac{1}{p_{i+1}})...(1-\frac{1}{p_m}).$
Уравнение можно переписать в виде:
$(1+a_1)a_1=a_1\frac{\sigma(x)}{x}=b_1, \ b_i=(1-\frac{1}{p_i^{2k_i+1}})(1-\frac{1}{p_{i+1}^{2k_{i+1}+1}})...(1-\frac{1}{p_m^{2k_m+1}}).$
Так как b_i<1, однако 1-b_i мало из следующего
$$\frac{1}{\zeta (3)}\prod_{p<p_i} \frac{p^3}{p^3-1}<b_i<1$$
получаются ограничения на a_i, в частности:
$$\frac{-1+\sqrt{1+\frac{32}{7\zeta(3)}}}{2}<a_1=\frac{-1+\sqrt{1+4b_1}}{2}<\frac{-1+\sqrt 5 }{2}.$$
Учитывая ещё свойства делимости $p_i^{2k_i-1}|\prod_{j\not =i} (p_j^{2k_j+1}-1)$
и исключая отсюда некоторые варианты (учитывая что порядки нечётные p_i должны быть как минимумум квадратичными вычетами для некоторых) получил, что простых делителей как минимум 4. Скорее всего уравнение не имеет решений. Может кто-то докажет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение на сумму делителей.
Сообщение10.03.2007, 12:05 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5660
Руст писал(а):
Существует ли решение уравнения при x>2 :
$\sigma (x)=x+\phi (x).$

Это уравнение эквивалентно такому:
$$\sum_{d|x} \frac{1-\mu(d)}{d} = 1.$$

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение10.03.2007, 13:20 
Заслуженный участник


09/02/06
4382
Москва
Это верно. Только я не знаю, чем это может помощь.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: YandexBot [bot]


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group