Уравнение на сумму делителей.

[Руст]

Существует ли решение уравнения при x>2 :
$\sigma (x)=x+\phi (x).$

[bot]

Дык, вроде легко по индукции получается, что левая часть меньше правой.

Добавлено спустя 11 минут 2 секунды:

На двойке прокол.
Отсюда, если равенство возможно, то x обязано содержать степень двойки.

[Руст]

bot писал(а):

Дык, вроде легко по индукции получается, что левая часть меньше правой.

Добавлено спустя 11 минут 2 секунды:

На двойке прокол.
Отсюда, если равенство возможно, то x обязано содержать степень двойки.

Это не так даже для нечётных х, например при х=105 слева 192, справа 153.

[bot]

И в самом деле, индукция не идёт - в разные стороны у меня неравенства были направлены.

[ИСН]

Задача такая вкусная, что позволю себе откусить неровный кусок с краю, а то пока искать полное решение, стопудово кто-нибудь опередит.
Если x чётное и больше 2, то левая часть строго больше 3/2 x, а правая - нестрого меньше. То есть никак.
Если x нечётное, то фи чётное, то есть сигма обязана быть нечётной, то есть x обязан быть полным квадратом...

[Руст]

Это задача от Carlos Rivera. Пока вроде никто не решил. Мне удалось доказать, только что нечётное число $x=y^2$ имеет как минимум 4 различных простых делителя. И сильные ограничения на возможные значения $y=p_1^{k_1}p_2^{k_2}...p_m^{k_m}, \ a_i=(1-\frac{1}{p_i})(1-\frac{1}{p_{i+1}})...(1-\frac{1}{p_m}).$
Уравнение можно переписать в виде:
$(1+a_1)a_1=a_1\frac{\sigma(x)}{x}=b_1, \ b_i=(1-\frac{1}{p_i^{2k_i+1}})(1-\frac{1}{p_{i+1}^{2k_{i+1}+1}})...(1-\frac{1}{p_m^{2k_m+1}}).$
Так как b_i<1, однако 1-b_i мало из следующего

$$\frac{1}{\zeta (3)}\prod_{p<p_i} \frac{p^3}{p^3-1}<b_i<1$$

получаются ограничения на a_i, в частности:

$$\frac{-1+\sqrt{1+\frac{32}{7\zeta(3)}}}{2}<a_1=\frac{-1+\sqrt{1+4b_1}}{2}<\frac{-1+\sqrt 5 }{2}.$$

Учитывая ещё свойства делимости $p_i^{2k_i-1}|\prod_{j\not =i} (p_j^{2k_j+1}-1)$
и исключая отсюда некоторые варианты (учитывая что порядки нечётные p_i должны быть как минимумум квадратичными вычетами для некоторых) получил, что простых делителей как минимум 4. Скорее всего уравнение не имеет решений. Может кто-то докажет.

[maxal]

Руст писал(а):

Существует ли решение уравнения при x>2 :
$\sigma (x)=x+\phi (x).$

Это уравнение эквивалентно такому:

$$\sum_{d|x} \frac{1-\mu(d)}{d} = 1.$$

[Руст]

Это верно. Только я не знаю, чем это может помощь.