Для полноты дам решение и другой задачи:

.
У этого уравнения имеются тривиальные решения

,

,

. Другие решения будем искать в виде решения системы уравнений:

, в первом z выступает как числа Люка, во втором как числа Фибоначчи. Надо разделить случай, когда

квадрат рационально числа, когда уравнения не являются уравнениями Пелля. Если

уравнение приводится к виду:

.
На первый взгляд здесь нет натуральных решений. Случай, когда

не квадрат сводится к уравнению Пелля и доказывается, что пересечений чисел Люка и Фибоначчи нет путем занижения решений.
-- Чт май 24, 2012 10:20:38 --Общее решение:
1)

, y - любое,
2)

3) аналогично 2) с заменой мест x и y. Других натуральных решений нет.
А это уже совершенно другое утверждение.
Это то же, над чем вы смеялись. Решение 1) уже содержится в 2) или 3) как начальное решение.