В каком пространстве и какие сплайны образуют компакт?

[mpi177]

Здравствуйте!

Хотелось бы узнать, в каком именно функциональном пространстве и какие именно сплайны образуют компактное множество (если это конечно так, услышал об этом случайно, нет возможности спросить у того, от кого услышал). Интересуют в частности сплайн поверхности. Интерес связан с поиском устойчивого решения интегрального уравнения Фредгольма первого рода в задаче восстановления изображений.

Посоветуйте пожалуйста источник, в котором описывались и обосновывались бы требуемые свойства сплайнов.

Заранее спасибо за ответ.

[dikiy]

навскидку - наверное лишь в пространстве сплайнов. Ведь сплайны сходятся к непрерывным функциям, а они, конечно, не представимы в виде одного сплайна. Но если брать "расширенное" пространство сплайнов, то есть вместе с бесконечными суперпозициями сплайнов, то тогда как минимум компактное в пространстве непрерывных функций с ограниченной производной.

[Хорхе]

dikiy в сообщении #572701 писал(а):

навскидку - наверное лишь в пространстве сплайнов. Ведь сплайны сходятся к непрерывным функциям, а они, конечно, не представимы в виде одного сплайна. Но если брать "расширенное" пространство сплайнов, то есть вместе с бесконечными суперпозициями сплайнов, то тогда как минимум компактное в пространстве непрерывных функций с ограниченной производной.

Чушь какая-то, не читайте.

По вопросу: компактное множество там быть не может, поскольку оно не ограничено. С другой стороны, если взять ограниченное множество кусочно каких-то там функций на отрезке (где "какие-то там" означает конечномерное пространство: например, многочлены не выше некоторой степени или тригонометрические многочлены), причем предположить, что кусочки не очень маленькие, то это будет компакт, причем почти в "любой" норме (из-за конечномерности они более-менее эквивалентны).

Ключевые слова - ограниченность и конечность (размерности класса кусочков, количества кусочков).

[Integrall]

Хорхе в сообщении #572718 писал(а):

По вопросу: компактное множество там быть не может, поскольку оно не ограничено.

Ограниченность еще не аргумент, поскольку, как хорошо известно, единичная сфера в бесконечно мерном пространстве компактом не является.

to TC:
Может содержательнее было бы говорить о предкомпактности?

[g______d]

Хорхе в сообщении #572718 писал(а):

Ключевые слова - ограниченность и конечность (размерности класса кусочков, количества кусочков).

Конечность --- слишком сильное условие. Например, критерием компактности множества $K\subset C[a;b]$ является его замкнутость, равномерная ограниченность и равностепенная непрерывность его элементов. Для последнего, например, достаточна липшицевость с равномерной оценкой константы Липшица. Или, например, равномерная ограниченность производной (если хочется критерий для всех функций множества, то производную придется брать обобщенную; или достаточно равномерной ограниченности обычной производной на плотном подмножестве $K$).

-- 23.05.2012, 15:40 --

Integrall в сообщении #575082 писал(а):

Хорхе в сообщении #572718 писал(а):

По вопросу: компактное множество там быть не может, поскольку оно не ограничено.

Ограниченность еще не аргумент, поскольку, как хорошо известно, единичная сфера в бесконечно мерном пространстве компактом не является.

Неограниченное множество не может быть компактным. Больше ничего в цитированной фразе не утверждалось.

[Integrall]

g______d в сообщении #575098 писал(а):

Неограниченное множество не может быть компактным. Больше ничего в цитированной фразе не утверждалось.

Ну и что? Это все равно, что сказать - трамвай не самолет, потому что он не серебристый. Я привел пример, что замкнутость и ограниченность в бесконечно мерном пространстве критерием компактности не являются. Нужны иные критерии. Только и всего.

[ewert]

Integrall в сообщении #575104 писал(а):

Это все равно, что сказать - трамвай не самолет, потому что он не серебристый.

Отнюдь не всё равно. Ограниченность является необходимым условием, в то время как серебристость -- нет.

И вообще все в этой ветке всё это знают. Никто не знает лишь одного: в чём, собственно, состоял вопрос ТС.

[g______d]

Integrall в сообщении #575082 писал(а):

Может содержательнее было бы говорить о предкомпактности?

Похоже, что да. Компактное множество должен быть замкнутым. Это значит, что в том пространстве, в котором сплайны образуют компакт, пределом сплайнов должен быть сплайн. Это плохо согласуется с идеологией о приближении сплайнами произвольной непрерывной функции.

[Integrall]

ewert в сообщении #575113 писал(а):

Отнюдь не всё равно. Ограниченность является необходимым условием

это верно лишь для "хороших" метрических пространств, но ничто не мешает нам метризовать линейное пространство так, чтобы не было в нем бесконечно удаленных точек. В этом случае говорить о не/ограничености все равно, что говорить о "сферичности" коня.

[ewert]

Integrall в сообщении #575145 писал(а):

это верно лишь для "хороших" метрических пространств,

Это верно для любых пространств.

[Integrall]

ewert в сообщении #575153 писал(а):

Это верно для любых пространств.

не так все просто. Возмем обычное $\mathbb R^n$. Отождествим все выходящии лучи из начала координат с точками на единичной сфере, т.е. растояние между точками, лежащими на одном луче, равно нулю, на разных лучах - угловой величине между лучами. Все свойства метрики выполняются. Сфера это мир, где из одной точки в другую можно попасть по кратчайшей не более чем за $\pi$. Понятно почему при всех конечных $n$ это будет компактным метрическим пространством. Но в случае бесконечно мерного производящего пространства компакности как не бывало, хотя до всех точек бесконечно мерной сферы рукой подать. Где же здесь работает ваша ограниченность в метрическом смысле?

[g______d]

Integrall в сообщении #575194 писал(а):

растояние между точками, лежащими на одном луче, равно нулю

Integrall в сообщении #575194 писал(а):

Все свойства метрики выполняются.

Здесь явно какое-то противоречие :)

[ewert]

Integrall в сообщении #575194 писал(а):

Где же здесь работает ваша ограниченность в метрическом смысле?

Не знаю и знать не хочу. Из компактности (даже из предкомпактности) в метрическом пространстве следует ограниченность тривиальным образом. Попросту потому, что любая сходящаяся последовательность тривиально ограничена.

[Хорхе]

Integrall, вот Вам упражнение. Выберите из покрытия неограниченного множества открытыми шарами с центрами в фиксированной точке конечное подпокрытие.

[Integrall]

Хорхе, я бы охотно занялся вашим предложением, если вы покажете, что любое замкнутое и ограниченное множество в метрическом пространстве $l_2$ компактно.

И еще, ответьте для себя на вопрос: Различаете ли вы понятия ограниченное множество и вполне ограниченное множество. В чем их отличие в установлении критерия компактности?