Норма линейного функционала.

[stds]

В пространстве $L_1[0,4]$ задан функционал $T(f) = \int_{0}^{\pi} \cos^3(x)f(x)dx$. Найти его норму.

$|\int_{0}^{\pi}\cos^3(x)f(x)dx| \leqslant \int_{0}^{\pi}|\cos^3(x)f(x)|dx \leqslant \int_{0}^{\pi}|f(x)|dx \leqslant 1$. Но понятно, что 1 - это не точная оценка. Как получить точную оценку?

[Хорхе]

stds в сообщении #574901 писал(а):

Но понятно, что 1 - это не точная оценка.

Это каким образом понятно?

Вообще, сопряженное к $L_1$ -- это ...

[ewert]

stds в сообщении #574901 писал(а):

Но понятно, что 1 - это не точная оценка

Почему? Рассмотрите соотв. дельтообразные последовательности.

[stds]

Хорхе в сообщении #574903 писал(а):

Вообще, сопряженное к $L_1$ -- это ...

У меня пока не было функана, а на матане давалось только определения $L_p$, нормы в нем и нормы лин. функционала.

-- 23.05.2012, 12:10 --

ewert в сообщении #574956 писал(а):

Почему? Рассмотрите соотв. дельтообразные последовательности.

Что имеется в виду под дельтообразными последовательностями?

[Integrall]

stds в сообщении #574993 писал(а):

Что имеется в виду под дельтообразными последовательностями?

короче, рассмотрите последовательность функций $\delta_n(x) = n$ для $x \in (0, 1/n)$ и $\delta_n(x) = 0$ для $x \in (1/n, \pi)$

[stds]

Integrall в сообщении #575002 писал(а):

короче, рассмотрите последовательность функций $\delta_n(x) = n$ для $x \in (0, 1/n)$ и $\delta_n(x) = 0$ для $x \in (1/n, \pi)$

Спасибо, понял. $\int_{0}^{\pi} \delta_n(x)cos^3(x) \to 1$.