Определение векторного произведения без скалярного

[ScaN]

Можно ли ввести векторное произведение (или более общую операцию с типичными свойствами) в трехмерном пространстве, не прибегая к понятиям скалярного произведения, угла и нормы? Какие свойства можно из этого вывести?

Буду рад как развернутому ответу, так и отсылке к книге.

[Nilenbert]

Можно. Если даны два вектора $(x_1,y_1,z_1)$ и $(x_2,y_2,z_2)$, то их векторное произведение - вектор с координатами $(y_1 z_2 - y_2 z_1, z_1 x_2-z_2 x_1, x_1 y_2-x_2 y_1)$ или в виде определителя:

$$ \begin{vmatrix} \mathbf i & \mathbf j & \mathbf k \\ x_1 & y_1 & z_1 \\ x_2 & y_2 & z_2 \end{vmatrix} $$

[Xaositect]

Это для ортонормированного базиса $(\mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k})$, так что скалярное произведение все-таки есть.
Вообще, задание изоморфизма ${\wedge^{n - 1}}A\cong A$ эквивалентно заданию на пространстве невырожденной билинейной формы.

[lek]

Xaositect в сообщении #574503 писал(а):

Это для ортонормированного базиса ...

Можно и для произвольного. Определяем векторное произведение равенством $a\times b=[a,b]$, где элементы $a,b\in su(2)$. Получаем требуемое...

[svv]

Выберите три линейно независимых вектора $\mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k}$ и положите по определению
$\mathbf{i}\times\mathbf{j}=\mathbf{k},\quad\mathbf{j}\times\mathbf{k}=\mathbf{i},\quad\mathbf{k}\times\mathbf{i}=\mathbf{j}$
А для остальных пар векторов векторное произведение определится по линейности и антисимметричности.

[ScaN]

Как я понимаю, если сделать так:

svv в сообщении #574555 писал(а):

Выберите три линейно независимых вектора $\mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k}$ и положите по определению
$\mathbf{i}\times\mathbf{j}=\mathbf{k},\quad\mathbf{j}\times\mathbf{k}=\mathbf{i},\quad\mathbf{k}\times\mathbf{i}=\mathbf{j}$

,то способ1:

svv в сообщении #574555 писал(а):

А для остальных пар векторов векторное произведение определится по линейности и антисимметричности.

и способ2:

Nilenbert в сообщении #574454 писал(а):

Можно. Если даны два вектора $(x_1,y_1,z_1)$ и $(x_2,y_2,z_2)$, то их векторное произведение - вектор с координатами $(y_1 z_2 - y_2 z_1, z_1 x_2-z_2 x_1, x_1 y_2-x_2 y_1)$ или в виде определителя:
$ \begin{vmatrix} \mathbf i & \mathbf j & \mathbf k \\ x_1 & y_1 & z_1 \\ x_2 & y_2 & z_2 \end{vmatrix} $

эквивалентны. Будет ли определенная таким образом операция отличаться чем-либо от векторного произведения определенного на ортонормированном базисе в части свойств, не обращающихся к скалярному произведению? В частности, верно ли, что кривые можно описать формулой Френе-Серре?

lek, я не понимаю, откуда берется группа $su(2)$ в трехмерном линейном пространстве, и как она определяется. Если не сложно, объясните. Или Ваши слова следует понимать как "Берем любых(?) три вектора и постулируем, что они образуют группу $su(2)$ относительно нововведенной операции $\times$"?

Xaositect в сообщении #574503 писал(а):

Вообще, задание изоморфизма ${\wedge^{n - 1}}A\cong A$ эквивалентно заданию на пространстве невырожденной билинейной формы.

Xaositect, правильно ли я понял, что ${\wedge^{n - 1}}A\cong A$ следует читать как "$n-1$-арная линейная операция из $A$ в $A$? Т.е. такая операция задает билинейную форму. А будет ли эта форма скалярным произведением и когда? Это какая-то Лемма или Теорема с названием? Уместится ли доказательство в пару строчек?

Всем спасибо, пожалуйста, не расходитесь :)

[lek]

ScaN в сообщении #574700 писал(а):

lek, я не понимаю, откуда берется группа в трехмерном линейном пространстве, и как она определяется. Если не сложно, объясните...

Речь идет не о группе $SU(2)$, а алгебре Ли $su(2)$. Ее элементами являются комплексные $2\times2$ матрицы, удовлетворяющие условию $a^{+}=-a$ (слева - эрмитово сопряженая матрица). Среди этих матриц можно выбрать три матрицы $e_{k} =-i\sigma_{k}$ (справа - матрицы Паули умноженные на мнимую единицу). Матрицы $e_{k}$ образуют базис $su(2)$. Они удовлетворяют коммутационным соотношениям $[e_{i},e_{j}]=2\varepsilon_{ijk}e_{k}$, где $\varepsilon_{ijk}$ - полностью антисимметричный единичный 3-тензор (слева - обыкновенный коммутатор). Если расписать это равенство подробно, то получим равенства svv. Если использовать их для вычисления коммутатора произвольных двух элементов $su(2)$, то получим формулы Nilenbert. В общем же случае базис фиксировать не обязательно и поэтому формула $a\times b=[a,b]$ дает инвариантное определение векторного произведения в произвольном вещественном 3-мерном пространстве.

[svv]

ScaN
Да, эти способы эквивалентны.
Определенная таким образом операция не будет отличаться от векторного произведения по свойствам, не зависящим от определения скалярного произведения.
Однако формулы Френе-Серре справедливы, если производная берется по натуральному параметру, равному длине дуги, а длина определяется с помощью скалярного произведения. Да и понятие нормали тоже.

[ScaN]

svv, если мы домножим формулы Френе-Серре на $f(t)=\frac{ds}{dt} $ (приращение дуги к приращению некоторого параметра), то получим аналогичные уравнения, где функции $\tilde \kappa(t)=\kappa(s(t)) f(t)$, $\tilde \tau(t)=\tau(s(t)) f(t)$ описывают кривую по произвольному (не натуральному) параметру. Выходит, "формулы Френе" с ненатуральным параметром тоже описывают кривую в пространстве, с той лишь разницей что $\tilde \kappa$ и $\tilde \tau$ имеют мало общего с кривизной и кручением, что ожидаемо, ибо кривизна, например, предполагает радиус кривизны, т.е. длину. Это верно?

svv в сообщении #574743 писал(а):

ScaN
Однако формулы Френе-Серре справедливы, если производная берется по натуральному параметру, равному длине дуги, а длина определяется с помощью скалярного произведения. Да и понятие нормали тоже.

(Остальное пока перевариваю: нужно наконец разобраться во всех этих алгебрах и группах)

[Xaositect]

ScaN в сообщении #574700 писал(а):

Xaositect в сообщении #574503 писал(а):

Вообще, задание изоморфизма ${\wedge^{n - 1}}A\cong A$ эквивалентно заданию на пространстве невырожденной билинейной формы.

Xaositect, правильно ли я понял, что ${\wedge^{n - 1}}A\cong A$ следует читать как "$n-1$-арная линейная операция из $A$ в $A$? Т.е. такая операция задает билинейную форму. А будет ли эта форма скалярным произведением и когда? Это какая-то Лемма или Теорема с названием? Уместится ли доказательство в пару строчек?

Всем спасибо, пожалуйста, не расходитесь :)

Не любая операция, а антисимметричная.

Для трехмерного случая это будет вот что: если есть антисимметричная билинейная сюрьективная операция ($F(ax+by,z) = aF(x,y) + bF(y,z)$, $F(x,x) = 0$, $\forall x\exists u,v: F(u,v) = x$), то можно определить ортогональность векторов как $x\perp y\Leftrightarrow \exists z: F(x,z) = y$ (попробуйте доказать, что это отношение рефлексивно, это не очень тривиальное утверждение), а билинейную форму по правилу "бац - цаб" $F(a,F(b,c)) = bB(a,c) - cB(a,b)$. Тут надо доказать, что $F(a,F(b,c))$ принадлежит плоскости, натянутой на $b,c$, Это можно сделать с помощью уже определнной ортогональности. $B$ достаточно определить на каком-нибудь базисе, а для остальных векторов все будет хорошо по мультилинейности.

Проблема тут в том, что если мы будем брать произвольную такую операцию, то у нас может получиться изотропная билинейная форма, и, соответсвенно, самоортогональные (изотропные) векторы с нормой $0$.