алгебра и геометрия макро- и микромира

[bayak]

g______d в сообщении #574370 писал(а):

$\mathbb R^3$ на $S^3$ нельзя "намотать" --- если я правильно понимаю определение. Не существует накрытия $S^3$ с тотальным пространством $\mathbb R^3$.

bayak, мне бы очень хотелось, чтобы Вы выписали математические определения всех употребляемых Вами словосочетаний, относящихся к математике, а также математически сформулировали все утверждения --- либо в виде теорем, либо в виде четко сформулированных гипотез.

Речь не идёт о накрытии. А "намотать" это значит взять ткань пространства и намотать нитки этой ткани (образы координат пространства) на соответствующее компактное пространство.

Но Вам недостаточно этого образного определения. А мне недостаточно математической грамотности, чтобы сформулировать его на математическом языке.

-- Вт май 22, 2012 00:09:07 --

lek в сообщении #574386 писал(а):

Точно так же (используя мнимую единицу) можно перейти от расщепляемой вещественной алгебры Кэли-Диксона к алгебре октонионов. А значит, получить сферу $S^7$ из псевдосферы $R^4\times S^3$. И не надо никакой "укладки" или "наматывания"...

Очень интересно. Нельзя ли поподробней?

[Munin]

bayak в сообщении #574390 писал(а):

А "намотать" это значит взять ткань пространства

Определения, ссылки на литературу?

[lek]

bayak в сообщении #574390 писал(а):

Очень интересно. Нельзя ли поподробней?

Элементарно... Известно, что алгебру октонионов $\mathbb{O}$ порождает любая неассоциативная тройка ее элементов. Пусть $e_1,e_2,e_4$ --- такие элементы нормы 1. Тогда в качестве базиса $\mathbb{O}$ можно выбрать элементы $1,e_1, e_2, e_1e_2, e_4,e_1e_4,e_2e_4,(e_1e_2)e_4$. Причем все элементы нормы 1 образуют сферу $S^7$. Теперь, сохраняя закон умножения в $\mathbb{O}$, рассмотрим порождающие вида $ie_1,ie_2,ie_4$. Легко видеть, что эти элементы порождают уже (расщепляемую) алгебру сигнатуры $(4,4)$. Элементы нормы 1 в ней образуют уже подпространство $R^4\times S^3$. Рассуждая в обратном порядке, получаем требуемое.

[g______d]

bayak в сообщении #574390 писал(а):

А "намотать" это значит взять ткань пространства и намотать

Действительно, что тут непонятного?

bayak в сообщении #574390 писал(а):

Но Вам недостаточно этого образного определения. А мне недостаточно математической грамотности, чтобы сформулировать его на математическом языке.

Недостаточно. Пока не дано определения, математического объекта не существует. В чем тогда предмет разговора?

[bayak]

lek в сообщении #574414 писал(а):

Элементарно... Рассуждая в обратном порядке, получаем требуемое.

lek, я применил этот алгебраический трюк в работе "Алгебра линейных векторных полей" (формула 5.30), чтобы показать, что объединение алгебры касательных векторных полей семимерной сферы и псевдосферы составляет алгебру Ли $sl_{4}(\mathbb{C})$. Правда за скобками обсуждения остался вопрос о физической интерпретации этих векторных полей, но мне кажется, что векторное поле касательное к псевдосфере можно интерпретировать как динамическую составляющую, а касательное к сфере - как статическую составляющую вакуумного потока. Иначе говоря, если зафиксировать эволюционный параметр, то следует рассматривать линейные векторные поля касательные к сфере, а если зафиксировать точки на сфере, то они (вместе со сферой) будут эволюционировать касательно к псевдосфере.