Радикал идеала

nastty · 21/05/12 4

Помогите пожалуйста со следующей задачей:
Докажите, что $\sqrt(x^2,y^2)=(x,y)$ для произвольного поля k.

apriv · 08/01/12 915

nastty в сообщении #574176 писал(а):

Помогите пожалуйста со следующей задачей:
Докажите, что $\sqrt(x^2,y^2)=(x,y)$ для произвольного поля k.

Если Вы знакомы с геометрией, посмотрите на геометрическую интерпретацию этих идеалов. Если нет — ну, запишите в явном виде тот факт, что $f\in\sqrt{(x^2,y^2)}$ и подставьте понятно какую точку.

nastty · 21/05/12 4

извините, а можно поподробнее?

apriv · 08/01/12 915

nastty в сообщении #574312 писал(а):

извините, а можно поподробнее?

Вспомните определение радикала. Каким равенством можно выразить тот факт, что $f\in\sqrt{(x^2,y^2)}$ ? Подставьте в это равенство $x=y=0$ и узнайте что-то про $f$ . Поймите, как может выглядеть $f$ с таким свойством — удивительным образом окажется, что как раз $f\in (x,y)$ . Обратно, если $f\in (x,y)$ , то не очень-то сложно понять (опять же по определению), почему же $f$ лежит в этом радикале.

А разгадка проста — на аффинной плоскости $\operatorname{Spec}(k[x,y])$ идеал $(x,y)$ соответствует точке $(0,0)$ , а идеал $(x^2,y^2)$ — некоторой инфинитезимальной окрестности этой точки.