Радикал идеала

[nastty]

Помогите пожалуйста со следующей задачей:
Докажите, что $\sqrt(x^2,y^2)=(x,y)$для произвольного поля k.

[apriv]

nastty в сообщении #574176 писал(а):

Помогите пожалуйста со следующей задачей:
Докажите, что $\sqrt(x^2,y^2)=(x,y)$для произвольного поля k.

Если Вы знакомы с геометрией, посмотрите на геометрическую интерпретацию этих идеалов. Если нет — ну, запишите в явном виде тот факт, что $f\in\sqrt{(x^2,y^2)}$ и подставьте понятно какую точку.

[nastty]

извините, а можно поподробнее?

[apriv]

nastty в сообщении #574312 писал(а):

извините, а можно поподробнее?

Вспомните определение радикала. Каким равенством можно выразить тот факт, что $f\in\sqrt{(x^2,y^2)}$? Подставьте в это равенство $x=y=0$ и узнайте что-то про $f$. Поймите, как может выглядеть $f$ с таким свойством — удивительным образом окажется, что как раз $f\in (x,y)$. Обратно, если $f\in (x,y)$, то не очень-то сложно понять (опять же по определению), почему же $f$ лежит в этом радикале.

А разгадка проста — на аффинной плоскости $\operatorname{Spec}(k[x,y])$ идеал $(x,y)$ соответствует точке $(0,0)$, а идеал $(x^2,y^2)$ — некоторой инфинитезимальной окрестности этой точки.

[nastty]

по определению $\sqrt(x^2,y^2)=f$ и если подставить x=y=0,то получим $\sqrt(0,0)=f=0$, а как из этого получить $f\in\ (x,y)$?

[apriv]

nastty в сообщении #574363 писал(а):

по определению $\sqrt(x^2,y^2)=f$

Нет, это бессмысленное равенство: слева стоит идеал, справа многочлен.

[nastty]

а как нужно правильно?
пожалуйста,очень надо!

[apriv]

nastty в сообщении #574422 писал(а):

а как нужно правильно?
пожалуйста,очень надо!

Нужно вспомнить определение радикала и применить его, ничего больше.