алгебра и геометрия макро- и микромира

[Munin]

Я ещё ссылку на литературу спросил.

[bayak]

shwedka, Вы перечислили случаи, которые я не рассматриваю - ни $X$, ни $Y$ не имеют метрики. Просто $X$ компактно, а $Y$ некомпактно. Пример, где $X$ это $S^{1}\times S^{1}$, а $Y$ это $\mathbb{R}^{2}$, я привел чуть выше. Впрочем, g______d утверждает, что пример непонятный. Попробую всё же пояснить его без формул. Плоскость наматываем на тор так, что одна декартова координата плоскости наматывается на одну задающую окружность тора, а другая - на другую. Площадь тора сохраняется при пропорциональном сжатии длины одной и растяжении длины другой окружности тора, следовательно декартовы координаты намотанной на тор плоскости также получают пропорциональное сжатие и растяжение. В свою очередь, группа сжатий-растяжений намотки тора изоморфна группе вращений псевдоевклидовой плоскости.

-- Вс май 20, 2012 20:36:35 --

Munin в сообщении #573768 писал(а):

Я ещё ссылку на литературу спросил.

Это не литературный термин.

[shwedka]

bayak в сообщении #573801 писал(а):

Попробую всё же пояснить его без формул.

А Вы с формулами.

bayak в сообщении #573801 писал(а):

где $X$ это $S^{1}\times S^{1}$, а $Y$ это $\mathbb{R}^{2}$

Может, наоборот!!
Но Вы писали о другом примере.
$S^{3}\times S^{1}$, $\mathbb{R}^{4}$ Как там?

bayak в сообщении #573801 писал(а):

Площадь тора сохраняется при пропорциональном сжатии длины одной и растяжении длины другой окружности тора,

То есть Вы отказываетесь от слов, что изначально метрик нет, (откуда тогда площадь?) а, оказывается, рассматриваете семейство метрик -- или семейство накрытий.

bayak в сообщении #573801 писал(а):

группа сжатий-растяжений намотки

Поподробнее об этой группе, где и как она действует?

[Munin]

bayak в сообщении #573801 писал(а):

Это не литературный термин.

Неважно. Приведите ссылку на литературу, где рассматривается это понятие, даже если оно названо иначе.

[bayak]

shwedka в сообщении #573807 писал(а):

А Вы с формулами.

Хорошо.
Наматываем:

$$x_1\mapsto e^{2\pi iR_1 x_1},$$

$$x_2\mapsto e^{2\pi iR_2 x_2},$$

где $R_1,R_2$ радиусы задающих окружностей тора. Локальной метрики на торе нет, но поскольку он вложен в евклидово пространство, то его площадь равна $4\pi^{2}R_1\cdot R_2$. Следовательно для того, чтобы площадь тора оставалась равной единице, необходимо сохранять величину $R'_1\cdot R'_2=1$, что выполняется если $R'_1=e^{\varphi}R_1$ и $R'_2=e^{-\varphi}R_2$. Переносим эти деформации на плоскость $(x_1,x_2)$ и получаем:

$$x'_1=e^{\varphi}x_1,$$

$$x'_2=e^{-\varphi}x_2.$$

Откуда следует, что на плоскости сохраняется величина $x_1\cdot x_2$. Но поскольку $(y_1+y_2)(y_1-y_2)=y_{1}^{2}-y_{2}^{2}$, то подходящей заменой переменных мы получим группу вращений псевдоевклидовой плоскости.

shwedka в сообщении #573807 писал(а):

Но Вы писали о другом примере.

Там по той же схеме. Но прежде неплохо было бы получить при помощи намотки плоскости на сферу группу вращений евклидовой плоскости.

[g______d]

bayak в сообщении #573872 писал(а):

где $R_1,R_2$ радиусы задающих окружностей тора. Локальной метрики на торе нет, но поскольку он вложен в евклидово пространство, то его площадь равна $4\pi^{2}R_1\cdot R_2$.

Как-то я сомневаюсь, что плоский тор можно вложить в двумерное евклидово пространство без разрывов. Что Вы понимаете под "вложен"?

[Munin]

Munin в сообщении #573823 писал(а):

Приведите ссылку на литературу, где рассматривается это понятие, даже если оно названо иначе.

Напоминаю, что вы должны ответить на вопрос.

[shwedka]

bayak писал(а):

Следовательно для того, чтобы площадь тора оставалась равной единице, необходимо сохранять величину $R'_1\cdot R'_2=1$

То есть у Вас не один тор, а семейство.
Поэтому Ваши отображения - на разных торах. Запомним.

bayak в сообщении #573872 писал(а):

то подходящей заменой переменных мы получим группу вращений псевдоевклидовой плоскости.

Да, при некотором отождествлении Вы получаете группу движений гиперболической плоскости. Но Вы говорили о гиперболической псевдометрике. Не наблюдается.

bayak в сообщении #573872 писал(а):

shwedka в сообщении #573807 писал(а):
Но Вы писали о другом примере.

Там по той же схеме.

Будет по той же, когда Вы это продемонстрируете. Путь в математический ад идет через 'аналогично'

[lek]

bayak в сообщении #573090 писал(а):

Для разговора на эту тему предлагаю оттолкнуться от следующей математической модели.

Пусть у нас имеется псевдосфера $x_{1}x_{2}+x_{3}x_{4}+x_{5}x_{6}+x_{7}x_{8}=1$, которая топологически эквивалентна цилиндру $\mathbb{R}^{4}\times S^{3}$,

Точнее, диффеоморфна. Эту псевдосферу можно определить как множество всех элементов нормы 1 расщепляемой вещественной алгебры Кэли-Диксона. Хорошо известно, что такое множество диффеоморфно прямому произведению $R^4\times S^3$.

bayak в сообщении #573090 писал(а):

и мы "укладываем" её на сферу $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2}+x_{5}^{2}+x_{6}^{2}+x_{7}^{2}+x_{8}^{2}=\tau$, где $\tau$ это эволюционный параметр.

Как и зачем?

bayak в сообщении #573090 писал(а):

Имеются ли у этой конструкции некие признаки алгебры и геометрии макро- и микромира?

Ответ на этот вопрос зависит от того, что вы понимаете под "алгеброй и геометрией макро- и микромира".

bayak в сообщении #573090 писал(а):

Я утверждаю, что линейные касательные векторные поля этой псевдосферы образуют алгебру Клиффорда,

Это будет так и без ее "укладывания".

bayak в сообщении #573090 писал(а):

известную как геометрическая алгебра пространства-времени.

Нет, у этой алгебры (алгебры матриц Дирака) сигнатура другая.

bayak в сообщении #573090 писал(а):

Возможно также, что при компактификации этой псевдосферы, некомпактная часть цилиндра приобретает метрику пространства Минковского.

И это можно всегда сделать при должной компактификации.

[bayak]

lek в сообщении #574127 писал(а):

Это будет так и без ее "укладывания".

Конечно, но "укладывание" понадобится для компактификации этой гиперсферы.

lek в сообщении #574127 писал(а):

Нет, у этой алгебры (алгебры матриц Дирака) сигнатура другая.

Конечно другая, но я имел в виду алгебру пространства-времени Хестенеса. Замечу при этом, что алгебра кватернионов и алгебра матриц Паули также отличаются сигнатурой, но если матрицы Паули умножить на мнимую единицу и рассматривать алгебру таких матриц над полем вещественных чисел, то мы получим алгебру кватернионов.

lek в сообщении #574127 писал(а):

И это можно всегда сделать при должной компактификации.

И тут я согласен с Вами. Более того, я полагаю, что компактифицировать надо на $S^{3}\times S^{1}$.

shwedka в сообщении #573895 писал(а):

То есть у Вас не один тор, а семейство.Поэтому Ваши отображения - на разных торах. Запомним.

Пожалуй, Вы правы, это плохой момент. Лучше изначально полагать, что тор один, а намотка с одной фиксированной точкой "скользит" по тору так, чтобы сохранялся детерминант матрицы преобразования координат намотки.

shwedka в сообщении #573895 писал(а):

Да, при некотором отождествлении Вы получаете группу движений гиперболической плоскости. Но Вы говорили о гиперболической псевдометрике. Не наблюдается.

Я полагал, что в математике давно устоялась схема: плоскость $+$ группа $=$ геометрия.

shwedka в сообщении #573895 писал(а):

Будет по той же, когда Вы это продемонстрируете. Путь в математический ад идет через 'аналогично'

Согласен, но lek утверждает, что в вопросах получения метрики через компактификацию нет никаких проблем. Может быть я напрасно стараюсь.

g______d в сообщении #573881 писал(а):

Как-то я сомневаюсь, что плоский тор можно вложить в двумерное евклидово пространство без разрывов. Что Вы понимаете под "вложен"?

Почему в двумерное? Уж лучше в четырёхмерное.

[Munin]

bayak в сообщении #574257 писал(а):

Я полагал, что в математике давно устоялась схема: плоскость группа геометрия.

Приведите и на это ссылки на литературу.

И не вынуждайте меня звать модераторов, игнорируя мои вопросы.

[bayak]

Munin в сообщении #574280 писал(а):

Приведите и на это ссылки на литературу.И не вынуждайте меня звать модераторов, игнорируя мои вопросы.

Дорогой Munin, поищите эту "формулу" в работах Ф. Клейна. Что касается призыва к модераторам, то, по большому счёту, это всё же не тот вопрос, который требует вмешательства модераторов. Не стоит конфликтовать из-за каких-то пустяков.

[g______d]

$\mathbb R^3$ на $S^3$ нельзя "намотать" --- если я правильно понимаю определение. Не существует накрытия $S^3$ с тотальным пространством $\mathbb R^3$.

bayak, мне бы очень хотелось, чтобы Вы выписали математические определения всех употребляемых Вами словосочетаний, относящихся к математике, а также математически сформулировали все утверждения --- либо в виде теорем, либо в виде четко сформулированных гипотез.

[Munin]

bayak в сообщении #574304 писал(а):

Дорогой Munin, поищите эту "формулу" в работах Ф. Клейна.

Дорогой bayak, это не ссылка, а издевательство.

bayak в сообщении #574304 писал(а):

Не стоит конфликтовать из-за каких-то пустяков.

То, что вы постоянно изъясняетесь на каком-то своём птичьем языке, который отказываетесь расшифровать, не пустяки.

-- 21.05.2012 23:54:55 --

g______d в сообщении #574370 писал(а):

bayak, мне бы очень хотелось, чтобы Вы выписали математические определения всех употребляемых Вами словосочетаний, относящихся к математике, а также математически сформулировали все утверждения --- либо в виде теорем, либо в виде четко сформулированных гипотез.

Поддерживаю это предложение.

[lek]

bayak в сообщении #574257 писал(а):

Замечу при этом, что алгебра кватернионов и алгебра матриц Паули также отличаются сигнатурой, но если матрицы Паули умножить на мнимую единицу и рассматривать алгебру таких матриц над полем вещественных чисел, то мы получим алгебру кватернионов.

Точно так же (используя мнимую единицу) можно перейти от расщепляемой вещественной алгебры Кэли-Диксона к алгебре октонионов. А значит, получить сферу $S^7$ из псевдосферы $R^4\times S^3$. И не надо никакой "укладки" или "наматывания"...