Объём десятимерного шара

[Ktina]

Почему объём десятимерного шара равен $\frac{1}{120}\pi^5R^{10}$?
Как именно он вычисляется выводится эта формула?

[type2b]

Пусть площадь единичной $n$-мерной сферы равна $v_n$. Тогда, с одной стороны,

$$\int {\rm e}^{-r^2}{\rm d}^{n+1}x=v_n\int_0^\infty {\rm e}^{-r^2}r^n\,{\rm d}r\,,$$

с другой стороны,

$$\int {\rm e}^{-r^2}{\rm d}^{n+1}x=\left(\int_{-\infty}^{\infty}{\rm d}x\,{\rm e}^{-x^2}\right)^{n+1}\,.$$

Отсюда $v_n$ находится через гауссов интеграл. А зная площадь сферы, легко найти объем шара.

[s.n.s.]

Из соображений размерности ясно, что объём $n$-мерного шара радиуса $R$ есть $V_n(R)=S_n R^n$ ($S_n$ - объём $n$-мерного шара радиуса 1).
Сечение такого шара $(n-1)$-мерной гиперплоскостью ортогональной диаметру на расстоянии $h$ от центра есть $(n-1)$-мерный шар радиуса $r=\sqrt{R^2-h^2}$. Следовательно,

$$ V_n(R) = \int_{-R}^R V_{n-1} \bigl(\sqrt{R^2-h^2}\bigr) \,dh = 2 S_{n-1} R^n I_n = 2 R I_n V_{n-1}(R)\,,$$

где $I_n \equiv \int_0^1 (1-x^2)^{n/2} dx = \int_0^{\pi/2} (\cos t)^n \,dt$.
Таким образом,

$$ V_n(R) = (2 R)^{n-1} V_1(R) I_2 \ldots I_n = (2 R)^n I_2 \ldots I_n .$$

Для $I_n$ мы имеем: $I_1 =1$, $I_2 =\pi/4$. При произвольном натуральном $n$ интеграл в $I_n$ выражается через гамма-функции, но можно поступить проще. Интегрируя один раз по частям, получаем соотношение $n I_n = (n-1)I_{n-2}$. Отсюда замечаем, что $nI_n I_{n-1}$ есть постоянная величина и, следовательно, $I_n I_{n-1} = 2 I_2 I_1/n = \pi/(2n)$ для четных $n$.
Таким образом, для четных $n$ получаем

$$ V_n(R) = (2R)^n \frac{(\pi/2)^{n/2} }{(n)!!} = \frac{(\pi)^{n/2}}{ (n/2)!} R^n \,.$$

[g______d]

type2b в сообщении #573493 писал(а):

Отсюда $v_n$ находится через гауссов интеграл. А зная площадь сферы, легко найти объем шара.

Да, а первый интеграл так же легко находится через $\Gamma$-функцию.

Никогда не понимал, зачем нужен второй способ :)

[type2b]

так мы этим и пользуемся. Левые части приравниваем, отсюда находим $v_n$ через гамма-функцию и степень гауссова интеграла.

[g______d]

Разумеется. Я имел в виду способ в следующем посте (хотя видел его в учебниках).

[type2b]

а, понял