Из соображений размерности ясно, что объём

-мерного шара радиуса

есть

(

- объём

-мерного шара радиуса 1).
Сечение такого шара

-мерной гиперплоскостью ортогональной диаметру на расстоянии

от центра есть

-мерный шар радиуса

. Следовательно,

где

.
Таким образом,

Для

мы имеем:

,

. При произвольном натуральном

интеграл в

выражается через гамма-функции, но можно поступить проще. Интегрируя один раз по частям, получаем соотношение

. Отсюда замечаем, что

есть постоянная величина и, следовательно,

для четных

.
Таким образом, для четных

получаем
