Идеал (x,k) над кольцом полиномов

[Sngak]

Последний пост - чушь
Собирая всё вместе:
Пусть $(x, k)$ - главный идеал ($k \ne -1, 0, 1$) и порождается некоторым $a$, следовательно $x, k$ должны делится на $a$, но это невозможно следовательно $(x, k)$ не может быть главным идеалом, верно?
Почему $x, k$ не делятся на $a$ ?
Как вообще $x$ может делится на что-либо, это ведь переменная!

[apriv]

Sngak в сообщении #573432 писал(а):

Как вообще $x$ может делится на что-либо, это ведь переменная!

Это не переменная, это многочлен, который вполне может делиться на какой-нибудь другой многочлен.

[Sngak]

Тем не менее что не верно в "доказательстве"?
Получается, что $k$ может делиться на $\forall y : GCD(k, y) \ne 1$, но одновременно с $x$ деление невозможно, так?

[apriv]

Sngak в сообщении #573467 писал(а):

Тем не менее что не верно в "доказательстве"?
Получается, что $k$ может делиться на $\forall y : GCD(k, y) \ne 1$, но одновременно с $x$ деление невозможно, так?

$k$ не делится на «любой $y$». Выражение $\forall y$ вообще не имеет смысла, имеет смысл только $\forall y\in X$ для некоторого множества $X$.

[Sngak]

Без проблем - $\forall y \in \mathbb{Z}$
Но вернёмся к системе:
$x$ должно делится $a$
$k$ должно делится $a$
Это возможно только в том случае, если $GCD( k, a) \ne 1$ и $GCD( x, a) \ne 1$, из этого следует, что $GCD( x, k) \ne 1$, что невозможно

(Оффтоп)

Глупо, но эта задача нужна до завтра

[apriv]

Sngak в сообщении #573630 писал(а):

Это возможно только в том случае, если $GCD( k, a) \ne 1$ и $GCD( x, a) \ne 1$, из этого следует, что $GCD( x, k) \ne 1$, что невозможно

Из того, что $gcd(k,a)\ne 1$ и $gcd(x,a)\ne 1$ никак не следует, что $gcd(x,k)\ne 1$. Пример: $gcd(2,6)\ne 1$, $gcd(3,6)\ne 1$, но $gcd(2,3)=1$. А вот из того, что $k$ и $x$ делятся на $a$, действительно следует противоречие.

[Sngak]

apriv в сообщении #573672 писал(а):

А вот из того, что $k$ и $x$ делятся на $a$, действительно следует противоречие.

Верно, с простыми числами пропустил момент
Не могли бы вы привести пример (что-ли) почему следует противоречие?
Ведь можно делить $x, k$ на 1, например, и делится будут

[VAL]

Sngak в сообщении #573245 писал(а):

Если я правильно понял, то $f(x)$ - обратимый элемент кольца
Получается, что для данной системы кроме $-1, 0, 1$ нет обратимых элементов.

Не читал предыдущих постов. Но само по себе утверждение об обратимости нуля (при наличии других элементов) выглядит достаточно смело.

[apriv]

Sngak в сообщении #573684 писал(а):

Не могли бы вы привести пример (что-ли) почему следует противоречие?
Ведь можно делить $x, k$ на 1, например, и делится будут

Ежели $x$ и $k\neq 0$ делятся на $a$, то из этого (как?) следует, что $a$ ассоциировано с 1. А идеал, порожденный $1$, строго больше идеала, порожденного $x$ и $k$ (если, конечно, $k$ не равно 1).

[Joker_vD]

Господи... Если $(x,k)=(d)$ то должно быть $d|x,\,d|k$. Раз $x$ — неприводимый, то либо $d=\pm 1$ либо $d=\pm x$. Но если $d=\pm 1$, то $(d)\ne(x,k)$, так как $(x,k)\subsetneq(d)$ (когда и почему?), а если $d=\pm x$, то $(d)\ne(x,k)$, так как $(d)\subsetneq(x,k)$ (когда и почему?).

Вот и все, а вы тут на три страницы развели не пойми чего.