Идеал (x,k) над кольцом полиномов

[Sngak]

Задача:
Необходимо доказать, что идеал $(x, k)$ в $\mathbb{Z}[x]$ не является главным, если $k \notin \{-1, 0, 1\}$.
Как я понимаю, главный идеал кроме того, что он представим в виде $(a) = \{ar + nr\}, r \in R, n \in \mathbb{Z}$, $R$ - наше кольцо, через него можно выразить любой элемент из кольца. Следовательно в данном случае идеал выглядит как $(x, k) = xr + xn + kr + kn$. И пусть $k \notin \{-1, 0, 1\}$, не понимаю почему данный идеал не может быть главным, ведь любой элемент кольца мы можем выразить через него? Основную проблему при выражении любого элемента вижу в $kr$, т.к он содержит кратные $k$ элементы. Но ведь $n \in \mathbb{Z}$ и следовательно оно может быть $-k$, следовательно $kr$ можно всегда занулить.

[mkot]

Sngak в сообщении #572846 писал(а):

Как я понимаю, главный идеал кроме того, что он представим в виде $(a) = \{ar + nr\}, r \in R, n \in \mathbb{Z}$, $R$ - наше кольцо, через него можно выразить любой элемент из кольца.

Поясните, а лучше чётко запишите определение идеала и главного идеала (можете сразу учесть что у вас кольцо с единицей).

[Sngak]

В рамках данной задачи:
Идеал $A$ является подмножеством кольца $\mathbb{Z}[x]$
Кроме того$A$ - подгруппа аддитивной группы $\mathbb{Z}[x]$
И т.к идеал двусторонний, то $\forall a \in A \forall r \in \mathbb{Z}[x] a \cdot r \in A, r \cdot a \in A$

Главный же идеал в данном кольце (пропустил момент, что оно с 1) $(a) = \{ a \cdot r, r \in \mathbb{Z}[x]\}$
Соответственно, для $(x, k) = \{ x \cdot r + k \cdot r\}$
Однако $r \in \mathbb{Z}[x]$, следовательно он может быть и 1 .... кажется я понял - получается, что при любом $k \notin \{ -1, 0, 1\}$ получается, что главным идеалом не описываются полиномы вида $a_nx^n \pm ... \pm a_1x \pm \varphi$, где $ -k < \varphi < k$

[Sonic86]

Sngak в сообщении #572943 писал(а):

Соответственно, для $(x, k) = \{ x \cdot r + k \cdot r\}$

Не совсем, 2-й параметр от 1-го должен независеть.

Sngak в сообщении #572943 писал(а):

Однако $r \in \mathbb{Z}[x]$, следовательно он может быть и 1 .... кажется я понял - получается, что при любом $k \notin \{ -1, 0, 1\}$ получается, что главным идеалом не описываются полиномы вида $a_nx^n \pm ... \pm a_1x \pm \varphi$, где $ -k < \varphi < k$

Дело не в том, входят ли какие-то элементы в идеал или нет, а в том - главный он или нет (т.е. порождается одним элементом или нет).
Действуйте в лоб от противного: пусть идеал главный, тогда - тут пишем соотношения и доказываем, что они невозможны.

[Sngak]

Sonic86 в сообщении #572955 писал(а):

Sngak в сообщении #572943 писал(а):

Соответственно, для $(x, k) = \{ x \cdot r + k \cdot r\}$

Не совсем, 2-й параметр от 1-го должен независеть.

Так $r \in \mathbb{Z}[x]$ и $k, x$ не зависят друг от друга.
Или вы имеете ввиду $(x, k) = \{ x \cdot r_1 + k \cdot r_2\}$?

[Sonic86]

Sngak в сообщении #572969 писал(а):

Или вы имеете ввиду $(x, k) = \{ x \cdot r_1 + k \cdot r_2\}$?

Ага, это

[Sngak]

Sonic86 в сообщении #572955 писал(а):

Дело не в том, входят ли какие-то элементы в идеал или нет, а в том - главный он или нет (т.е. порождается одним элементом или нет).
Действуйте в лоб от противного: пусть идеал главный, тогда - тут пишем соотношения и доказываем, что они невозможны.

Извините за мультипост, но пусть $k = -1$, то даже $(x, -1)$ уже состоит из 2х элементов

[AV_77]

Sngak в сообщении #572975 писал(а):

Извините за мультипост, но пусть $k = -1$, то даже $(x, -1)$ уже состоит из 2х элементов

Ни чего подобного. $(x, -1) = (1) = \mathbb{Z}[x]$. Выясните, наконец, что такое главный идеал.

[Sngak]

AV_77 в сообщении #572984 писал(а):

Sngak в сообщении #572975 писал(а):

Извините за мультипост, но пусть $k = -1$, то даже $(x, -1)$ уже состоит из 2х элементов

Ни чего подобного. $(x, -1) = (1) = \mathbb{Z}[x]$. Выясните, наконец, что такое главный идеал.

Понимаю, что меня стоит послать почитать матчасть, но определение дано выше и тем не менее переход $(x, -1) = (1) = \mathbb{Z}[x]$ я не понимаю
$(x, -1) = \{xr_1 - r_2 \} = ???$

[AV_77]

Sngak в сообщении #573005 писал(а):

переход $(x, -1) = (1) = \mathbb{Z}[x]$ я не понимаю
$(x, -1) = \{xr_1 - r_2 \} = ???$

Возьмите $r_1 = 0$ и $r_2 = -1$. Что получится?

[Sngak]

Верно, $(1)$
Т.е пусть идеал главный и порождён, некоторым элементом: $(x, k) = (a), k \notin \{-1, 0, 1\}$, т.е $xr_1 + kr_2 = ar_3$
Что мешает взять $r_1 = 0, r_2 = a, r_3 = k$, получим равенство

Снова чушь?

[AV_77]

Sngak в сообщении #573018 писал(а):

Т.е пусть идеал главный и порождён, некоторым элементом: $(x, k) = (a), k \notin \{-1, 0, 1\}$, т.е $xr_1 + kr_2 = ar_3$

Не так. Посмотрите про равенство идеалов и что должно следовать из $(x, k) = (a)$.

[Sngak]

AV_77 в сообщении #573027 писал(а):

Sngak в сообщении #573018 писал(а):

Т.е пусть идеал главный и порождён, некоторым элементом: $(x, k) = (a), k \notin \{-1, 0, 1\}$, т.е $xr_1 + kr_2 = ar_3$

Не так. Посмотрите про равенство идеалов и что должно следовать из $(x, k) = (a)$.

Ассоциированность $xk$ и $a$
Т.е обратного элемента в $\mathbb{Z}[x]$ к $k$ мы не можем найти, следовательно равенство невыполнимо?

[Sonic86]

Нет, если $(x,k)=(a)$, то $x=f(x)a$ и для $k$ аналогично. Запишите систему и посмотрите на нее внимательно.

[Sngak]

Если я правильно понял, то $f(x)$ - обратимый элемент кольца
Получается, что для данной системы кроме $-1, 0, 1$ нет обратимых элементов.