теорема монодромии

[avr]

А что такое теорема монодромии?

[RIP]

Суть теоремы о монодромии заключается в следующем:
Пусть $G$ - односвязная область, функция $f(z)$ голоморфна в окрестности $U\subset G$ некоторой точки $z_0\in G$ и аналитически продолжаема вдоль любой кривой, лежащей в области $G$. Тогда существует голоморфная в области $G$ функция $g(z)$ такая, что $f(z)=g(z)$ в $U$.
Грубо говоря: многозначная аналитическая в односвязной области $G$ функция допускает выделение голоморфной ветви в $G$.

Подробности можно посмотреть, думаю, практически в любом учебнике по комплексному анализу, в теме про аналитическое продолжение.

[avr]

А бывают ли случаи, когда эта теорема нарушается?

[RIP]

В каком смысле нарушается?
Если убрать условие односвязности, то теорема перестанет быть верной. Например, область $\mathbb{C}\setminus\{0\}$ и функция $f(z)=\sqrt z$.