Пространства Соболева

[vlad_light]

Задача Дирихле:
$ a_{ij}\in C^1(K), f\in C(K),$
$-(Lu)(x)=f(x), \forall x\in K$
$u(x)=0, \forall x\in \partial K$
Определение:
$u\in H_0^1 (K)$ называется обобщённым решением задачи Дирихле, если для $\forall \varphi\in H_0^1(K)$:
$\int\limits_K \sum\limits_{i,j=1}^na_{ij}\partial _{x_j}u(x)\partial _{x_i}\varphi (x)dx=\int\limits _Kf(x)\varphi (x)dx$
Теорема:
Существует единственное обобщённое решение задачи Дирихле, которое удовлетворяет условию:
$\|u\|_{H_0^1(K)}\leq C\|f\|_{L^2(K)}$
Доказательство:
Рассматриваем билинейную форму:
$B[u,v]:=\int\limits_K \sum\limits_{i,j=1}^na_{ij}\partial _{x_j}u(x)\partial _{x_i}v(x)dx$
Нужно проверить, что эта форма задаёт скалярное произведение в $H_0^1 (K)$.
Вопрос:
Скалярное произведение в $H_0^1 (K)$ имеет вид: $(u,v)_{H_0^1 (K)}:=\int\limits_K \nabla u \nabla v^*dx$
Перепишем $B[u,v]$ в виде $\int\limits_K \nabla u A \nabla v^*dx$. Нужно ли требовать, что $A\geq 0$, или условие $B[u,v]\geq 0$ выполняется для любого $A$?

[ewert]

vlad_light в сообщении #572854 писал(а):

Нужно ли требовать, что $A\geq 0$, или условие $B[u,v]\geq 0$ выполняется для любого $A$?

Естественно, нужно. Там ещё будут всякие нюансы со строгостью неравенства вкупе с граничными условиями, но это уже второстепенно.

[vlad_light]

О, Вы везде успеваете! Спасибо, в учебнике этого не было сказано...

(Оффтоп)

С написаным ниже я уже разобрался!
Теперь вопрос по задаче Фурье. Формулировка аналогичная, напишу только различия.
Краевые условия для задачи Фурье:
$\partial _\nu u(x)+ku(x)=0, \forall x\in \partial K, $
$k>0, \partial _\nu u(x)=\sum\limits _{i,j=1}^n \partial _{x_j}u(x)\nu _i(x),\nu=(\nu _1,...,\nu _n)$ - внешнаяя нормаль к $\partial K$.
Обобщённое решение:
$u\in H^1(K): B_D[u,\varphi ]+k\int\limits _{\partial K}Tu(x)T\varphi (x)d\sigma _x=\int\limits _Kf(x)\varphi (x)dx, \forall \varphi\in H^1(K)$.
$B_D[u,v]=\int\limits_K \sum\limits_{i,j=1}^na_{ij}\partial _{x_j}u(x)\partial _{x_i}v(x)dx$
Доказательство (теорема аналогична предыдущей):
Рассматривается билинейная форма:
$B_F[u,v]=B_D[u,v]+k\int\limits _{\partial K}Tu(x)Tv(x)d\sigma _x$.
Опять нужно показать, что $B_F$ задаёт скалярное произведение в $H^1(K)$.
Вопрос:
Как сопоставить $(u,v)_{L^2(K)}=\int\limits _K u(x)v(x)dx$ с $(u,v)_{F_0}=\int\limits _{\partial K} Tu(x)Tv(x)dx$, чтоб получить скалярное произведение в $H^1(K)$?

[vlad_light]

Вопрос по задаче Неймана:
Краевые условия:
$\partial _\nu u(x)=0, \forall x\in \partial K$
Доказательство теоремы (о единственности решения):
Вводим пространство:
$\hat H(K):=\{u\in H^1(K):\hat u _K=0\}$, где $\hat u _K=\frac{1}{|K|}\int\limits _K u(x)dx$
Имеем неравенство Пуанкаре:
$\forall u\in\hat H(K):\|u\|_{L^2(K)}\leq c\|u\|_{L^2(K)}$
и условие элиптичности:
$\forall u\in \mathbb R^n \exists c_1,c_2>0:c_1|u|^2\leq \sum\limits _{i,j=1}^n a_ij(x)u_iu_j\leq c_2|u|^2$
Из этого следует, что форма:
$B_N[u,v]:=\int\limits _K \sum\limits _{i,j=1}^n a_{ij}\partial _{x_j}u(x)\partial _{x_i}v(x)dx$
Задаёт скалярное произведение на $\hat H(K)$.
Вопрос:
Последний переход объясните, пожалуйста. Он похож на 1-ый случай (задача Дирихле), но там я пользовался тем, что нам известна норма в $H_0^1 (K)$ и я доказывал эквивалентность норм. Здесь мне неизвестна норма в $\hat H(K)$, как поступить?
А можно ли считать норму в $\hat H(K)$, как эквивалентную норме $H_0^1(K)$?

[ewert]

Я совершенно не понимаю обозначений, но дело вот в чём. Квадратичная форма этого оператора в любом случае неотрицательна. Для задачи Дирихле она к тому же ещё и строго положительна, поэтому задаёт некоторое скалярное произведение напрямую. Для задачи Неймана она вырождена; однако вырождение наблюдается лишь на константах. Поэтому после наложения условия $\int\limits _K u(x)dx=0$, т.е. в подпространстве, ортогональном константам, эта квадратичная форма оказывается всё-таки строго положительной.

[vlad_light]

Спасибо, с этим тоже вчера разобрался. Последний вопрос, скорее, нематематический:
Насколько актуальна данная тема? Зачем мы вообще вводим понятие обобщенного решения? В чём его практическое преимощество перед классическим решением? Мы доказали теорему о существовании и единственности решения, а как его найти? Можете привести пример задания из реальной жизни, в котором используется одна из задач (Дирихле, Фурье или Неймана)? Заранее благодарен!

[ewert]

Слишком много вопросов сразу. Начнём с того, что я не знаю, что именно понимается под "обобщённым" решением. Если имелось в виду решение в классе соболевских (т.е. дифференцируемых лишь в обобщённом смысле) функций, то это никакого практического значения не имеет, но необходимо для построения замкнутой теории. Если же имелась в виду вариационная постановка краевой задачи (т.е. сведение её к минимизации соответствующего функционала), то это весьма практично в том смысле, что позволяет выстраивать разумные приближённые схемы, грамотно учитывающие граничные условия разных типов.

Найти решение на практике можно лишь приближёнными методами (практически всегда). Реальные примеры см. в более-менее любом курсе математической физики.

[vlad_light]

В принципе, это всё, что я хотел услышать по этому поводу. Огромное спасибо!
Сегодня сдал экзамен по этому курсу, надеюсь, в будущем хоть где-нибудь пригодится.

(Оффтоп)

Что-то курс лекций по пространствам Соболева мне не очень понравился, хотя читали их хорошо. Может посоветуете какую-то интересную на Ваш взгляд тему?