задача о вращении катушки с магнитной лентой

[Nikita]

иродов 1.46
Магнитная лента с катушки протягивается через звукосниматель с постоянной скоростью U. Толщина ленты h. Найти угловую скорость катушки как функцию времени t, если в момент времени t=0 радиус внешнего слоя ленты равен R.

Вроде, не сложная, а решить пока не получается.
$t=\frac{2*pi*R(t)}{U}$ - время через которое R уменьшится на h \\ $omega(t)=\frac{U}{R(t)}$ - искомая скорость \\ $R(t)=R-h*t*\frac{U}{2*pi*R(t)}$ - решая это и поставляя в среднее уравнение, получаю неправильный ответ. \\
Где ошибка?

[незваный гость]

Грубо, Вы можете считать, что за время $t$ площадь катушки с лентой уменьшается на $U \cdot h \cdot t$ (мы считаем ленту несжимаемой, $h \ll R$). С другой стороны, столь же грубо $\delta S = 2\pi R(t) \delta \varphi$.

[Munin]

незваный гость писал(а):

С другой стороны, столь же грубо $\delta S = 2\pi R(t) \delta \varphi$.

$\delta S = 2\pi R(t) \, \delta \mspace{-1.5mu} R$?

[Nikita]

незваный гость
Munin
Спасибо большое.
Как я сразу не заметил, что площадь линейно зависит от времени?
Получается:
$S(t)=pi*R^2-U*h*t$\\ $R(t)=sqrt(S(t)/pi)$\\ $omega=U/R(t)$\\
все сходится.

[Хет Зиф]

Nikita
Если мне не изменяет память - это старая задачка московских школьных олимпиад

[Munin]

Nikita
Когда пишете формулы, можете поставить знак "\" перед ключевым словом, и оно отобразится как нужный символ. Скобки под корнем - фигурные "{}". Собственно, тег [math] для того и придуман.

Ваши формулы станут выглядеть так:
$S(t)=\pi*R^2-U*h*t$\\ $R(t)=\sqrt{S(t)/\pi}$\\ $\omega=U/R(t)$\\

А ещё после небольшой доделки так:
$S(t)=\pi \cdot R^2-U \cdot h \cdot t$\\ $R(t)=\sqrt{S(t)\over\pi}$\\ $\omega={U\over R(t)}$\\