Выберем вариант 1.
Из предыдущего сообщения известно, что каждая скобка - удвоенный квадрат и произведение двух скобок - квадрат.
Т.е.

.
Поделим это равенство на

и обозначим

.
Тогда

.
Эллиптическая кривая получается после замены

.

.
От

избавляемся с помощью замены

.
Окончательно, полагая

и

получаем кривую в стандартной форме

.

- рациональная точка на кривой

, соответствующая

. Поскольку

,
то

т.е.

имеет порядок 3.
Дискриминант кривой

равен

поэтому можно проводить редукцию по простым

и далее использовать часть теоремы Лутц-Нагеля о существовании гомоморфизма

, ограничение которого на группу кручения

является вложением.
Проведя редукцию по

5 и

7 получаем, что

состоит из 9 точек

,
а

из 6 точек

Таким образом,

состоит из трех точек. Они уже известны. Это

. Других рациональных точек конечного порядка нет.
Поскольку ранг

равен нулю (можно убедиться с помощью PARI/GP), то нет и точек бесконечного порядка.
Итак, вписанных в окружность четырехугольников с рациональными длинами сторон и площадью, отличных от квадрата, у которых длины сторон образуют геометрическую прогрессию, не существует.
Можно доказать, что если в предыдущем утверждении слово "геометрическую" заменить на "арифметическую", то утверждение останется верным.
Доказательство похоже на приведенное, но в каких-то пунктах более хлопотное.