Найти замыкание и сопряжённый

[ewert]

vlad_light в сообщении #569883 писал(а):

Т.е. про незамкнутость я сделал правильный вывод?

Да, правильный и правильно. Правда, я Вас сбил с толку; но за это я уже извинился.

vlad_light в сообщении #569883 писал(а):

следовательно не выполняется условие типа $x_n\to 0\Rightarrow Ax_n\to 0 $, а это похоже на условие замкнутости графика.

Нет, совсем не похоже. За это я тоже уже извинился.

vlad_light в сообщении #569883 писал(а):

и найдём сопряжённый. Или без этого никак?

А вот уж это от Вас и от Вашего начальства зависит. Я бы порекомендовал всё же найти: он совсем простой.

[vlad_light]

(Оффтоп)

Я вас не виню, вы не подумайте! Просто для себя хотел уточнить.

Цитата:

А вот уж это от Вас и от Вашего начальства зависит

Ну какбэ моё начальство - это Вы, поэтому, если

Цитата:

Я бы порекомендовал всё же найти: он совсем простой.

то я, конечно же, согласен
Тогда дайте ещё одну подсказку, что делать с этими сходимостями, которые мы показали в предыдущем посте?

[ewert]

(Оффтоп)

vlad_light в сообщении #569891 писал(а):

Ну какбэ моё начальство - это Вы,

Никогда никому не втюхивал функан; т.е. кое-кому кое-когда кое-что втюхивал, но совершенно на не настолько формальном уровне.

vlad_light в сообщении #569891 писал(а):

что делать с этими сходимостями, которые мы показали в предыдущем посте?

Пусть некоторая последовательность гладких функций сходится к чему угодно в Эль-два. Добавьте к членам этой последовательности некоторые добавки, от которых требуются лишь две вещи: 1) их Эль-два-нормы стремятся к нулю и 2) их производные в нуле ведут себя как нам (т.е. в соответствие с производными исходной последовательности) заблагорассудится. Очевидно, что эти требования непротиворечивы.

[vlad_light]

Я немного не понимаю, что мне нужно на данном этапе сделать
У нас есть посл. гладких ($\{x_n\}\subset C^1$) функций и нам нужно придумать функцию $x^*_n:=x^*_n(x_n)$ такую, что:
$\forall \{x_n\}\in C^1:\|x^*_n\|_2\to 0$
$\forall \{x_n\}\in C^1,\exists c\in \mathbb C:\left. x^*_n (t)\right |_{t=0}=c$
Я правильно понимаю? Если да, то мне нужно явно предъявить последовательность $x^*_n$, которая будет зависеть от $x_n$ и $n$ или сослаться на какую-то теорему?

[ewert]

vlad_light в сообщении #570460 писал(а):

и нам нужно придумать функцию $x^*_n:=x^*_n(x_n)$ такую,

ну начните с того, что наведите порядок в обозначениях; пока что эта запись бессмысленна, что обрубает на корню всякие дальнейшие обсуждения

[vlad_light]

Да, я понял о чём Вы. Под $x^*_n:=x^*_n(x_n)$ я подразумеваю некую последовательность, которая порождается другой последовательностью таким образом, что каждый член порождаемой последовательности изменяется по определённому закону. Например:
$x^*_n:=\frac{x_n}{n}$. Т.е., если $x_n=\frac1n, то x^*_n:=\frac{x_n}{n}=\frac{1}{n^2}$
Подскажите, как это правильно записать.

[vlad_light]

(Оффтоп)

Видимо, г-ну ewert'у надоело учить безмозглого студента. Возможно кто-то другой сможет его заменить? Мне вправду интересно решить данную задачку

[ewert]

vlad_light в сообщении #570487 писал(а):

Например:
$x^*_n:=\frac{x_n}{n}$.

Ну это невозможно было понять. И в любом случае это бесперспективно (вы уменьшаете одновременно и саму функцию, и её наклоны, а требуется эту связь разорвать).

Дело просто в том, что малость (даже равномерная малость) функции никак не связана с её наклоном в нуле. Вот и конструируйте последовательность функций, равномерно стремящихся к нулю и с любой наперёд заданной последовательностью наклонов. Лучше всего это делать чисто графически; но если уж приспичит поиграться формулками -- можете поиграться, скажем, арктангенсом с подходящими множителями под ним и над ним.

[vlad_light]

(Оффтоп)

Урааа, Вы вернулись! Вот, что я пока придумал:

Рассматриваем последовательность функций
$x_n\in C^1([-1,1]), x_n(t)=\frac{\arctan (n^2t)}{n}$

$\lim\limits_{n\to\infty}\sup\limits_{t\in [-1,1]}|x_n(t)|=\lim\limits_{n\to\infty}\sup\limits_{t\in [-1,1]}|\frac{\arctan (n^2t)}{n}|=\lim\limits_{n\to\infty}|\frac{\arctan (n^2)}{n}|=0$
Соответственно, $x_n$ равномерно (а также и в $L^2$) стремится к $0$.

$x_n'(0)=\left. (\frac{\arctan (n^2x)}{n})'\right |_{t=0}=\left.\frac{n^2}{n(n^4t^2+1)}\right |_{t=0}=n$
Следовательно, $Ax_n\to\infty ,n\to\infty$.

Можно следующую подсказку? Или это я опять не то написал?

По поводу сопряжённого:
Рассмотрим оператор $(A_tx)(t)=x'(t)$.
$A_tx=F^{-1}FAx=F^{-1}(i\lambda)Fx\Rightarrow A_t=F^{-1}(i\lambda)F$
Тогда
$A_t^*=(F^{-1}(i\lambda)F)^*=F^{-1}(i\lambda)^*F=F^{-1}(-i\lambda)F=-F^{-1}(i\lambda)F=-A_t$
Это справедливо для всех $t\in [-1,1]$, следовательно $A^*x=(A_0x)^*=-A_0x=-Ax$.
Подскажите, пожалуйста, можно ли так рассуждать?
Спасибо!

[ewert]

vlad_light в сообщении #571925 писал(а):

Или это я опять не то написал?

Не знаю. В принципе, то; но я ж не знаю, на какой конкретно вопрос Вы пытались ответить.

vlad_light в сообщении #571925 писал(а):

Подскажите, пожалуйста, можно ли так рассуждать?

И опять же понятия не имею. И $A_t$ ни к чему, и Эф загадочен, и вообще непонятно, к какой кобыле какой хвост следует пришивать.

Изъясняйтесь конкретнее. Дано: задача. Решение: типа. Иначе же понять Вас совершенно невозможно.

[vlad_light]

Отлично! Теперь подскажите, как это связать с нахождением замыкания графика нашего оператора?
Эф - это преобразование Фурье из Эль-два в Эль-два. Я пользуюсь свойством унитарности этого оператора. $A_t$ это оператор, порождённый функционалом $f_t(x)=x'(t)$ с областью определения, совпадающей с областью определения $A$.

(Оффтоп)

Хотя я опять таки не уверен, корректны ли мои обозначения, но думаю, что Вы имеете представление, что я имею ввиду.

[ewert]

vlad_light в сообщении #571945 писал(а):

Эф - это преобразование Фурье из Эль-два в Эль-два

Исходите из того, что оно тут не при чём. И, ради бога -- изъясняйтесь-таки яснее. Почему кто-то за Вас обязан угадывать Ваши потаённые мысли?...