базис в пространстве кососимметрических матриц

[kotmatroskin55]

даны 2 системы, из 3 матриц каждая, размера 3 на 3 доказать что каждая система является базисом и написать матрицу перехода от одного базиса к другому. Я понимаю что нужно каждую матрицу представить через вектор и доказать что полученная система линейно независима, не могу только понять каким будет стандартный базис для пространства кососиметрических матриц. То есть как будут расположены единичные клетки?

[ewert]

kotmatroskin55 в сообщении #571894 писал(а):

каким будет стандартный базис для пространства кососиметрических матриц.

Никаким, т.е. каким угодно. А для доказательства базисности конкретного набора матриц достаточно заметить, что любая кососимметрическая матрица взаимно-однозначно задаётся своими элементами ниже диагонали (ну или выше, конечно).

[svv]

Вот хороший базис в пространстве кососимметрических матриц $3\times 3$:

$$\mathbf e_1 = \begin{bmatrix}0&0&0\\0&0&1\\0&-1&0\end{bmatrix}\quad \mathbf e_2 = \begin{bmatrix}0&0&-1\\0&0&0\\1&0&0\end{bmatrix}\quad \mathbf e_3 = \begin{bmatrix}0&1&0\\-1&0&0\\0&0&0\end{bmatrix}$$

Вектору $\mathbf p=p_1\mathbf e_1+p_2\mathbf e_2+p_3\mathbf e_3$ будет соответствовать матрица $\begin{bmatrix}0&p_3&-p_2\\-p_3&0&p_1\\p_2&-p_1&0\end{bmatrix}$

Удобство базиса в том, что в нем имеют простой вид формулы перехода от компонент вектора $p_k$ к элементам соответствующей матрицы $a_{ij}$ и обратно:

$$a_{ij}=\sum\limits_k \varepsilon_{ijk}\,p_k\quad\quad p_k=\frac 1 2\sum\limits_{i,j}\varepsilon_{ijk}\,a_{ij}$$

$\varepsilon_{ijk}$ -- это символ Леви-Чивита.