падение камня с центробежной силой

[Munin]

Шимпанзе отказался мне помочь с рассмотрением задачи, поэтому выношу её на всеобщее обсуждение. ("Всеобщее" не означает, что не способные освоить ЛЛ-1 могут беспокоиться.)

Итак, камень (материальная точка) в начальный момент времени имеет положение $\mathbf{r}^0_{\text{нач}}$ и скорость $\mathbf{v}^0_{\text{нач}},$ и движется под действием силы тяжести $m\mathbf{g}^0=\mathrm{const}$ в плоскости $(x^0,y^0).$ С камнем связана неинерциальная система отсчёта, такая, что её начало отсчёта в каждый момент совпадает с центром кривизны траектории камня, а скорость вращения равна мгновенной скорости вращения камня вокруг этого центра (таким образом, можно считать, что в этой системе отсчёта камень всегда находится на оси $x$). Надо составить уравнения движения системы отсчёта и камня в ней, полностью исключив координаты самого камня в исходной системе, и решить их. Или показать, что в такой постановке задача не имеет решения.

У меня не получилось: уравнения Лагранжа оказались несовместны. Выкладки выкладываю по запросу.

P. S. Забыл добавить. Выкладки делались на основе ЛЛ-1 § 39, хотя и не точно с ними совпадают (мне показались удобными слегка другие обозначения, впрочем, соответствие было прозрачным). Отсюда "центробежная сила" в названии темы: в неинерциальной СО на камень должна действовать центробежная сила (и не она одна).

[Шимпанзе]

Ну что тут скажешь? По-второму кругу, что ли….
Какую бы систему отсчета не взяли, в данной конкретной задаче нет даже и тени фиктивной «центробежной силы» , - её просто не за что "цеплять" эту Вашу « центробежную силу». Ну , что Вы в самом деле не понимаете – за гравитационное поле что ли её цеплять?! Тело, привязанное на веревке – есть фиктивная сила, тело лежащее на вращающемся диске – есть фиктивная сила. Здесь всего лишь одна сила – сила тяжести. Для определения радиуса кривизны траектории в каждой точке этой самой траектории можно воспользоваться центростремительной силой, которая в апогее в точности равна силе тяжести. Касательная скорость и нормальное ускорение в каждой точке траектории легко вычисляется школьными методами , а зная эти параметры легко определить и радиус кривизны в данной точке .


Уберите из названия «центробежная сила» замените на "центростремительная сила" - не позорьте себя и форум. Впрочем, дело хозяйское.

Шимпанзе

[Someone]

Я попробовал такой подход. Пусть на камень действует сила тяжести $F_g=m\vec g=-mg\vec\jmath$ и, кроме того, "центробежная сила" $F_{\text{ц}}=-\frac{mv^2}R\vec\nu$, где $\vec v=v_x\vec\imath+v_y\vec\jmath$, $v=|\vec v|$, $R$ - радиус кривизны траектории камня, $m$ - его масса, $\vec\nu$ - единичный вектор нормали к траектории, направленный в сторону вогнутости.
Пользуясь известными формулами (Г.М.Фихтенгольц. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том I."Наука", Москва, 1969. Глава седьмая, § 5), получаем для этой силы выражение

$$F_{\text{ц}}=\frac{\dot x\ddot y-\ddot x\dot y}{\dot x^2+\dot y^2}\dot y\vec\imath-\frac{\dot x\ddot y-\ddot x\dot y}{\dot x^2+\dot y^2}\dot x\vec\jmath\text{.}$$

Естественно, $v_x=\dot x$, $v_y=\dot y$, $\dot v_x=\ddot x$, $\dot v_y=\ddot y$.
Поэтому для проекций скорости получается система уравнений

$$\begin{cases}\dot v_x=\frac{v_x\dot v_y-\dot v_xv_y}{v_x^2+v_y^2}v_y\text{,}\\ \dot v_y=-\frac{v_x\dot v_y-\dot v_xv_y}{v_x^2+v_y^2}v_x-g\text{.}\end{cases}$$

Решая эту систему относительно $\dot v_x$ и $\dot v_y$, найдём

$$\begin{cases}\dot v_x=-\frac{gv_xv_y}{2(v_x^2+v_y^2)}\text{,}\\ \dot v_y=-\frac{g(v_x^2+2v_y^2)}{2(v_x^2+v_y^2)}\text{.}\end{cases}$$

Деля второе уравнение на первое, получим однородное уравнение превого порядка

$$\frac{dv_y}{dv_x}=\frac{v_x^2+2v_y^2}{v_xv_y}\text{,}$$

которое имеет решение $v_x^2+v_y^2=C_1v_x^4$.
Подставляя начальные значения $v_x|_{t=0}=v_0\cos\alpha$ и $v_y|_{t=0}=v_0\sin\alpha$, найдём $C_1=\frac 1{v_0^2\cos^4\alpha}$.
Предполагая, что $v_x>0$, получим $v_y=\pm v_x\sqrt{C_1v_x^2-1}$. Подставляя в первое уравнение системы, получим для $v_x$ уравнение с разделяющимися переменными

$$\dot v_x=\mp\frac g{2C_1v_x^2}\sqrt{C_1v_x^2-1}$$

(верхний знак - для $v_y\geqslant 0$, нижний - для $v_y\leqslant 0$). Интегрирование этого уравнения (для верхнего знака) даёт

$$v_x\sqrt{C_1v_x^2-1}+\frac 1{\sqrt{C_1}}\ln(\sqrt{C_1}v_x+\sqrt{C_1v_x^2-1})=-gt+C_2\text{.}$$

Подстановка начальных значений даёт $C_2=v_0\left(\sin\alpha+\cos^2\alpha\ln\frac{1+\sin\alpha}{\cos\alpha}\right)$.
Равенство $v_y=0$ достигается при $v_x=\frac 1{\sqrt{C_1}}=v_0\cos^2\alpha$, при этом $t=t_1=\frac{C_2}g$. Далее движение преключается на уравнение с нижним знаком и имеет вид

$$v_x\sqrt{C_1v_x^2-1}+\frac 1{\sqrt{C_1}}\ln(\sqrt{C_1}v_x+\sqrt{C_1v_x^2-1})=gt-C_2$$

с теми же самыми $C_1$ и $C_2$.

Это соответствует тому, как я понял Варяга сначала.
Кстати, спутник на круговой орбите будет двигаться так, будто бы сила тяжести ослабла в два раза. Соответственно, скорость спутника будет в $\sqrt{2}$ раз меньше, чем в ньютоновской теории. Во что превратятся эллипсы, даже и подумать страшно.

P.S. Надеюсь, не наврал. Но, конечно, физического смысла во всём этом, мягко выражаясь, мало. Только упражнение на вычисление кривизны и интегрирование дифференциальных уравнений.

Исправил опечатку в формуле.

[Munin]

Шимпанзе
Спасибо, я понял вашу позицию. Рекомендую к прочтению любой учебник механики, главу о неинерциальных системах отсчёта. Там вы узнаете, что словосочетание "центробежная сила" может применяться и в другом смысле, нежели тот, который используете вы.

Добавлено спустя 14 минут 28 секунд:

Someone
Я понял ваш подход (и вычисления красивые :-) ), но он отрывается от стандартной механики в том месте, где вы полагаете $F_{\text{ц}}$ действующей в инерциальной СО, а не в неинерциальной вращающейся.

Было бы забавно построить графики получившихся функций :-)

Однако мой вопрос был несколько иным: сохранить физический смысл, и разобраться, достаточно ли уравнений для нахождения движения. Спасибо за подсказку формулы для кривизны, попробую ею вооружиться.

[Шимпанзе]

Не возражаю. Флаг в руки, памятник при жизни.


Шимпанзе

[Someone]

Munin писал(а):

Я понял ваш подход (и вычисления красивые :-) ), но он отрывается от стандартной механики в том месте, где вы полагаете $F_{\text{ц}}$ действующей в инерциальной СО, а не в неинерциальной вращающейся.

Я ведь здесь не о реальной физике веду речь, а о выдумке Варяга. У него "центробежная сила" тоже действует в инерциальной системе отсчёта. Иначе он не может понять, почему спутник не падает на Землю.

Но, как потом оказалось, он имеет в виду даже не это, а что-то ещё более странное. У меня "центробежная сила" компенсирует половину силы тяжести, действующей на спутник, а у него - полностью. При этом спутник продолжает двигаться по окружности.

[Munin]

Someone писал(а):

Я ведь здесь не о реальной физике веду речь, а о выдумке Варяга.

А я о реальной физике. И тема, заметьте, новая, в которой он ещё не отметился ни разу.

Что плохого в том, чтобы рассмотреть задачу?

Someone писал(а):

У него "центробежная сила" тоже действует в инерциальной системе отсчёта. Иначе он не может понять, почему спутник не падает на Землю.

Ну если о Варяге речь, так он вообще в системах отсчёта не разбирается, так что в какой СО у него сила действует - не так всё просто.

Someone писал(а):

Но, как потом оказалось, он имеет в виду даже не это, а что-то ещё более странное. У меня "центробежная сила" компенсирует половину силы тяжести, действующей на спутник, а у него - полностью. При этом спутник продолжает двигаться по окружности.

А кстати, почему у вас половина? Центром кривизны круговой орбиты спутника является центр Земли, во вращающейся СО Второй закон Ньютона (с учётом неподвижности в этой СО спутника) выглядит как $m\frac{v^2}{r}=mg$, компенсация, вроде бы, полная...

[Котофеич]

Шимпанзе писал(а):

Не возражаю. Флаг в руки, памятник при жизни. Шимпанзе

Шимпанзе. Скажите пожалуйста, правильно ли я понял, что Благородный Варяг
утвержает что камень движется как бы по инерции, ну типа что равнодействующая всех сил равна 0

[photon]

Котофеич писал(а):

Шимпанзе. Скажите пожалуйста, правильно ли я понял, что Благородный Варяг
утвержает что камень движется как бы по инерции, ну типа что равнодействующая всех сил равна 0

Именно так. Но давайте не будем возвращаться к этому

[Developer]

Хотелось бы уточнить, Munin, какой "центр кривизны траектории" камня Вы полагаете началом неинерциальной системы отсчёта, связанной с движущимся камнем?
Ведь в зависимости от начальной скорости, полученной телом, его траектория в поле тяготения $\vec{g_0}$ может "плавно" перейти из параболической сначала в круговую, затем в эллиптическую, затем снова в параболическую уже в другом поле тяготения $\vec{g_1}$ и плоть до гиперболической траектории, которая "выносит" тело и из поля тяготения $\vec{g_1}$.
Если я заблуждаюсь, поясните...

[Котофеич]

Самое интересное что Варяг совершенно прав. В современной геометродинамике, силы можно действительно полностью исключить из рассмотрения. Шарик на веревочке,там рассматривается как точка, которая движется по геодезической в некотором эффективном кривом пространстве. Например в ОТО (согласно Сингу) частица в гравитационном поле движется по инерции вдоль геодезической и без приложения силы.
Подосенов кажется ссылался на Синга в споре с Someone. Варяг просто изобрел велосипед, который ко всему еще и не ездит, поскольку он не может "свою" идею обматематичить.

[Munin]

Developer
Повторяю: $\mathbf{g}=\mathrm{const}$ (векторно, по всему пространству). Сталбыть, поле тяготения рассматривается как однородное и параллельное, а не центральное, как у планеты.

Кстати, рекомендую вам подумать и сообразить, что "параболическая в круговую" не переходит никогда: то, что выглядит параболической в однородном поле тяготения, при более точном рассмотрении является уже эллиптической (в районе апогея) в центральном поле. БОльшая часть эллипса просто проходит под поверхностью Земли. В ньютоновском поле ровно одна параболическая траектория - при запуске со второй космической скоростью.

Добавлено спустя 1 минуту 4 секунды:

Котофеич писал(а):

:evil: Самое интересное что Варяг совершенно прав. В современной геометродинамике, силы можно действительно полностью исключить из рассмотрения.

Самое интересное, что Варяг неправ, потому что его точка зрения отличается от изложенной вами, но вам это безразлично, вам лишь бы вякнуть погромче.

[Котофеич]

Munin писал(а):

Повторяю: g=const (векторно, по всему пространству). Сталбыть, поле тяготения Самое интересное, что Варяг неправ, потому что его точка зрения отличается от изложенной вами, но вам это безразлично, вам лишь бы вякнуть погромче.

Варяг не знает даже элементарных основ дифгеометрии, а тем более геометродинамики, вот и не может выразить свою мысль корректно.

[Developer]

Хорошо, тогда для решения задачи в неинерциальной системе отсчёта, "привязанной" к параболической траектории и двигающейся с переменной скоростью в гравитационном поле с постоянной величиной ускорения свободного падения $\vec{g_0}$, нужно аккуратно и не торопясь произвести преобразование координат, рассмотреть силы, действующие на камень в собственной системе отсчёта, составить уравнение "движения" с учётом изменения энергии (какой?, у какого тела?) и затем аккуратно получить для него решение...
А почему бы Вам, Munin, не "выложить" Ваше решение в теме?
Слишком громоздко?

[Munin]

Котофеич
Он её не только выразить, он её и подумать не может, так что её просто нельзя называть его мыслью. Вы снова занимаетесь любимым делом: приписываете людям то, чего они не говорили.

Developer
Я же в первом сообщении сказал, что у меня не получилось. Я могу выложить свой черновик, если вы готовы искать в нём ошибки :-) Он невелик, если выбросить побочные ветки...