Как определяли логарифм и вычислили экспоненту

[Евгений Машеров]

Кто позже?
Я за Иоганна Себастьяна Баха. Порядковые номера нот в "Хорошо темперированном клавире" (1722-1744) являются логарифмами их частот.

[Munin]

(Оффтоп)

Спросонок пытаюсь представить себе иррациональные номера...

[ewert]

(Оффтоп)

Munin в сообщении #571117 писал(а):

Спросонок пытаюсь представить себе иррациональные номера...

по какому основанию?

[Munin]

(Оффтоп)

Я ж говорю, спросонок... Не задавайте мне такие сложные вопросы...

[g______d]

Евгений Машеров в сообщении #571111 писал(а):

Кто позже?
Я за Иоганна Себастьяна Баха. Порядковые номера нот в "Хорошо темперированном клавире" (1722-1744) являются логарифмами их частот.

(Оффтоп)

Ну с номерами октав то же самое было задолго до Баха. Заслуга последнего в том, что он и сами ноты сделал логарифмами. Частота каждого следующего полутона в $\sqrt[12]{2}$ раз выше, чем предыдущего.

[Евгений Машеров]

Строго говоря, не Бах. До него темперированный звукоряд придумали, на смену натуральному. Бах популяризировал, показал, что темперированный в музыкальном отношении не хуже.

[g______d]

Да, согласен.

[Ales]

Nilenbert в сообщении #571089 писал(а):

Ales в сообщении #570992 писал(а):

В то время (1700 - 1725 годы) еще не было разделителя для дробной части и не было десятичных дробей.
Не было числа $\pi$.

Вы можете хоть как-то обосновать свои утверждения? Число $\pi$ знали прекрасно, более того именно в это промежуток, а именно в 1706 было введено современное обозначение для этого числа.

Этот вывод можно сделать из предположения, что Арифметика Магницкого отражала современный уровень науки.

А почему Вы думаете, что "Число $\pi$ знали прекрасно"?

-- Вт май 15, 2012 22:26:02 --

Munin в сообщении #571054 писал(а):

То, что кто-то что-то использует, ещё не значит, что он это знает.

Но в этом случае совсем непонятно как могли составить карту.
Карта Меркатора - это логарифм, без знания высшей математики невозможно составить проекцию.

Объясняется это конечно просто.
Карта и Меркаторова проекция появились в 17 веке вместе с координатами и логарифмами.
Тогда же жил и Меркатор.
http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9D%D0% ... 1%84%D0%BC
"Первое упоминание натурального логарифма сделал Николас Меркатор в работе Logarithmotechnia, опубликованной в 1668 году[2]"

-- Вт май 15, 2012 22:59:31 --

Хорошая книга на эту тему:
A. В. Боровик, О. М. Худавердян Проекция Меркатора, логарифм и мореплавание

-- Вт май 15, 2012 23:15:23 --

Таблицу синусов и секансов тоже не просто так составить.
Попробуйте найти секанс $23^o 10'$.

[Nilenbert]

Ales в сообщении #571481 писал(а):

А почему Вы думаете, что "Число $\pi$ знали прекрасно"?

Достаточно порыться в источниках. Например: ХРИСТИАН ГЮЙГЕНС. О найденной величине круга, издана в 1654. Смотрим на страницу 6. И внизу страницы мы видим знакомые числа. На всякий случай я тут продублирую это изображение:

[Ales]

Nilenbert в сообщении #571513 писал(а):

Достаточно порыться в источниках.

Книга Магницкого составлена из переводов современных иностранных учебников.
В этих учебниках вместо числа Пи - Архимедова пропорция 22:7.

А вот Гюйгенс знал что Пи это не 22:7,
но Гюйгенс - был гением и мог знать много больше других.

Как он это число вычислил? В книге не написано?

[Nilenbert]

Русский перевод этой работы Гюйгенса есть в книге: Рудио Ф. О квадратуре, круга (Архимед, Гюйгенс, Ламберт, Лежандр). С приложением истории вопроса составленной Ф.Рудио. В ней как раз описано как вычислять приближённые значения числа $\pi$.

[Евгений Машеров]

Понимаете ли, "Арифметика" Магницкого не отражает современный ему уровень математики. Она отражает современный ему уровень преподавания математики в средних школах (если быть более точным в аналогиях - в ПТУ, поскольку Навигацкая или Артиллерийская школы были профессиональными учебными заведениями).
Поэтому-то в ней ряд вещей приведен упрощённо и/или приближённо. Скажем, значение $\frac {22} 7=3.142857\dots$ отличается от истинного на 0.00126... или на 0.04%. Что достаточно даже с точки зрения большинства современных инженерных приложений, тем более тогдашних (на всякий случай напомню, что в некоторых современных артиллерийских расчётах указанное число $\pi$ принимают равным 3.0 в России, 3.2 в Германии, и только шведы берут 3.15, что, видимо, и объясняет непобедимость шведской армии последние 200 лет).
Лудольф ван Цейлен вычислил число $\pi$ c 35-ю знаками в 1596 году. Использовал он, кстати, метод, предложенный Архимедом, который, правда, ограничился 96-угольником и получил оценку $\frac {223} {71} <\pi < \frac {22} 7$, предложив для практических нужд последнюю дробь (откуда она и у Магницкого), а Лудольф ван Цейлен удваивал стороны, пока не дошёл до $60\cdot2^{29}$-угольника.
Что до Меркатора - то тот факт, что формулы преобразования координат на сфере в координаты на карте в одноименной ему проекции выражаемы через логарифм, отнюдь не означает, что он логарифмами пользовался. Как не означает тот факт, что Вы можете сбить птичку из рогатки того, что Вы умеете решать уравнения в частных производных, описывающие растяжение резинки и нелинейные дифуравнения, описывающие полёт камня. Меркатор, надо полагать, пользовался геометрическими рассуждениями и геометрическими инструментами для преобразования координат.

-- 16 май 2012, 10:48 --

Да, и на всякий случай.
Николаус Меркатор и Герардус Меркатор это не один человек. И не родственники.
И даже не однофамильцы. Фамилия первого - Кауфманн, второго - Кремер. Но, хотя буквально фамилия первого означает "купец", а второго "мелочный торговец", оба они, латинизируя для солидности свои фамилии, взяли латинское слово, означавшее "скупщик".
Ну и Николаус Меркатор изобрёл не натуральные логарифмы, а слово "натуральные логарифмы", сами по себе они были известны. Кроме самого слова, он предложил ряд для их вычисления, взамен составления таблиц повторяющимся умножением, и вообще популяризовал концепцию.
Кстати, раз тут уже упоминают музыку - он изобрёл один из вариантов темперированного клавира, 53-тонную октаву, не нашедшую (если не считать экспериментов некоторых композиторов) практического применения из-за сложности.

[Munin]

Евгений Машеров в сообщении #571606 писал(а):

Кстати, раз тут уже упоминают музыку - он изобрёл один из вариантов темперированного клавира, 53-тонную октаву

Что-то число некруглое, не 48, не 54...

[Евгений Машеров]

(Оффтоп)

Ну, кто виноват, что если пытаться воткнуть чистую квинту (3/2) в октаву (2/1), то раньше, чем взять 53 квинты, не получится что-то близкое к целому числу октав?
${(\frac 3 2)}^{53}=2151972563.2224173557990013483376 \approx 2147483648={(\frac 2 1)}^{31}$

[Munin]

А, вот из чего...