2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Ранг матрицы
Сообщение15.05.2012, 20:44 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
Пусть $n$ - натуральное число, не равное единичке.

а) Найти наименьший возможный ранг матрицы $n\times n$, элементы которой равны $1, 2, 3, \dots , n^2$

б) Найти наибольший возможный ранг такой матрицы (выраженный через $n$).

 Профиль  
                  
 
 Re: Ранг матрицы
Сообщение15.05.2012, 22:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
10909
Crna Gora
а) Ранг 2 -- раз плюнуть. Располагаем так:
$\begin{bmatrix}1&2&3&4\\5&6&7&8\\9&10&11&12\\13&14&15&16\end{bmatrix}$
Из $n$-го столбца вычитаем $n-1$-й, потом из $n-1$-го вычитаем $n-2$-й и т.д.
$\begin{bmatrix}
1&1&1&1\\
5&1&1&1\\
9&1&1&1\\
13&1&1&1\end{bmatrix}$
Дальше ясно.
Можно ли составить матрицу ранга $1$? Не знаю, для случая $2\times 2$ нельзя.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ранг матрицы
Сообщение15.05.2012, 22:38 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


14/02/07
2648
Да ну, очевидно же, что нельзя. Посмотреть e.g. на минор $2\times2$, содержащий $1$ и $n^2$,он не может обнулиться.

-- Вт май 15, 2012 23:41:51 --

Ой, может. Ну что-то другое не может :)

 Профиль  
                  
 
 Re: Ранг матрицы
Сообщение15.05.2012, 22:46 
Заслуженный участник


13/12/05
4604

(Оффтоп)

e.g. а что это значит? "Например" по-английски?

 Профиль  
                  
 
 Re: Ранг матрицы
Сообщение15.05.2012, 22:52 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


14/02/07
2648

(Оффтоп)

Ага. e.g. = exempli gratia
Попытка номер два: возьмем простое между $n^2/2$ и $n^2$ и рассмотрим какой-нибудь содержащий его минор $2\times 2$. Вот он точно не может обнулиться :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Ранг матрицы
Сообщение16.05.2012, 00:32 
Заслуженный участник


04/05/09
4587

(e.g.)

Padawan в сообщении #571491 писал(а):
e.g. а что это значит? "Например" по-английски?
exempli gratia (Latin) - for example (English). Часто используется.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ранг матрицы
Сообщение16.05.2012, 23:17 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
Я верно поняла, что пункт б) очевиден?
Я, во всяком случае, только его и решила :oops:

 Профиль  
                  
 
 Re: Ранг матрицы
Сообщение16.05.2012, 23:21 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


14/02/07
2648
Кагбе очевиден, да. Там, скажу по секрету, можно сделать полный ранг даже по модулю 2 (Вашему любимому :mrgreen: ).

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
cron
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group