Ранг матрицы

[Ktina]

Пусть $n$ - натуральное число, не равное единичке.

а) Найти наименьший возможный ранг матрицы $n\times n$, элементы которой равны $1, 2, 3, \dots , n^2$

б) Найти наибольший возможный ранг такой матрицы (выраженный через $n$).

[svv]

а) Ранг 2 -- раз плюнуть. Располагаем так:
$\begin{bmatrix}1&2&3&4\\5&6&7&8\\9&10&11&12\\13&14&15&16\end{bmatrix}$
Из $n$-го столбца вычитаем $n-1$-й, потом из $n-1$-го вычитаем $n-2$-й и т.д.
$\begin{bmatrix} 1&1&1&1\\ 5&1&1&1\\ 9&1&1&1\\ 13&1&1&1\end{bmatrix}$
Дальше ясно.
Можно ли составить матрицу ранга $1$? Не знаю, для случая $2\times 2$ нельзя.

[Хорхе]

Да ну, очевидно же, что нельзя. Посмотреть e.g. на минор $2\times2$, содержащий $1$ и $n^2$,он не может обнулиться.

-- Вт май 15, 2012 23:41:51 --

Ой, может. Ну что-то другое не может :)

[Padawan]

(Оффтоп)

e.g. а что это значит? "Например" по-английски?

[Хорхе]

(Оффтоп)

Ага. e.g. = exempli gratia

Попытка номер два: возьмем простое между $n^2/2$ и $n^2$ и рассмотрим какой-нибудь содержащий его минор $2\times 2$. Вот он точно не может обнулиться

[venco]

(e.g.)

Padawan в сообщении #571491 писал(а):

e.g. а что это значит? "Например" по-английски?

exempli gratia (Latin) - for example (English). Часто используется.

[Ktina]

Я верно поняла, что пункт б) очевиден?
Я, во всяком случае, только его и решила

[Хорхе]

Кагбе очевиден, да. Там, скажу по секрету, можно сделать полный ранг даже по модулю 2 (Вашему любимому ).