Квадратичная последовательность

[Ktina]

Конечная последовательность целых (не обязательно натуральных) чисел $a_0, a_1, \dots , a_n$ называется квадратичной, если $|a_k-a_{k-1}|=k^2$ для $1\le k\le n$.

а) Доказать, что для любых двух (не обязательно различных) целых $b$ и $c$ существует натуральное $n$ и квадратичная последовательность, в которой $a_0=b$ и $a_n=c$.

б) Найти наименьшее натуральное $n$, для которого существует квадратичная последовательность, в которой $a_0=0$ и $a_n=2012$.

в) Найти наименьшее натуральное $n$, для которого существует квадратичная последовательность, в которой $a_0=15$ и $a_n=2012$.

[Shadow]

a)Независимо от k можем получить последовательност от $b \text{ до } b\pm 4$. Воспользуясь тем, что $k^2-(k+1)^2-(k+2)^2+(k+3)^2=4$

Последовательност получается
$b,b+k^2,b+k^2-(k+1)^2,b+k^2-(k+1)^2-(k+2)^2,b+4$
Меняя знаки получим $b-4$
Т.е можно вернутся обратно в b
Теперь достаточно доказать что можно получить все остатки по модулю 4
$\\0,1\\ 0,1,5,14\\ 0,-1,3$

-- 14.05.2012, 12:34 --

По точкам б и в: Самая быстро возрастающая последовательност положительных чисел - сумма квадратов натуральных чисел. Т.е последовательност $a_ k=\dfrac{k(k+1)(2k+1)}{6}$. Посмотреть близкие до 2012 из этих чисел и разницу получить по алгоритму из т.а)
Наверное....

Наверное нет

[Shadow]

$\pm 1^2 \pm 2^2 \cdots \pm n^2=2012, \Rightarrow n\ge 18$. $n=18$ не подходит из соображений четности, так что минимум 19. Если все знаки плюс получается сумма 2470, следовательно нужно выбрать несколко квадратов, сумма которых 229.
$15^2+2^2=229$ Последовательност получается

0,1,-3,6,22,47,83,132,196,277,377,498,642,811,1007,782,1038,1327,1651,2012

Аналогично для подусловие в) от 0 до 1997 ( ну и потом добавить всем членам 15). Тут $n=18$

[eugrita]

у меня только сомнение в терминологии. Верно ли называть квадратичной последовательность с весьма специфичным условием
$|a_{k+1}-a_k|=k^2$
а куда тогда девать дискретный аналог параболы?
$a_k=c_2 \cdot k^2 +c_1 \cdot k +c_0$