2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Квадратичная последовательность
Сообщение13.05.2012, 16:53 
Аватара пользователя


01/12/11
8239
Ярдена Шуламит, шуламила и будет шуламить!
Конечная последовательность целых (не обязательно натуральных) чисел $a_0, a_1, \dots , a_n$ называется квадратичной, если $|a_k-a_{k-1}|=k^2$ для $1\le k\le n$.

а) Доказать, что для любых двух (не обязательно различных) целых $b$ и $c$ существует натуральное $n$ и квадратичная последовательность, в которой $a_0=b$ и $a_n=c$.

б) Найти наименьшее натуральное $n$, для которого существует квадратичная последовательность, в которой $a_0=0$ и $a_n=2012$.

в) Найти наименьшее натуральное $n$, для которого существует квадратичная последовательность, в которой $a_0=15$ и $a_n=2012$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Квадратичная последовательность
Сообщение14.05.2012, 12:23 


26/08/11
1777
a)Независимо от k можем получить последовательност от $b \text{ до } b\pm 4$. Воспользуясь тем, что $k^2-(k+1)^2-(k+2)^2+(k+3)^2=4$

Последовательност получается
$b,b+k^2,b+k^2-(k+1)^2,b+k^2-(k+1)^2-(k+2)^2,b+4$
Меняя знаки получим $b-4$
Т.е можно вернутся обратно в b
Теперь достаточно доказать что можно получить все остатки по модулю 4
$\\0,1\\
0,1,5,14\\
0,-1,3$

-- 14.05.2012, 12:34 --

По точкам б и в: Самая быстро возрастающая последовательност положительных чисел - сумма квадратов натуральных чисел. Т.е последовательност $a_ k=\dfrac{k(k+1)(2k+1)}{6}$. Посмотреть близкие до 2012 из этих чисел и разницу получить по алгоритму из т.а)
Наверное....

Наверное нет :cry:

 Профиль  
                  
 
 Re: Квадратичная последовательность
Сообщение15.05.2012, 10:20 


26/08/11
1777
$\pm 1^2 \pm 2^2 \cdots \pm n^2=2012, \Rightarrow n\ge 18$. $n=18$ не подходит из соображений четности, так что минимум 19. Если все знаки плюс получается сумма 2470, следовательно нужно выбрать несколко квадратов, сумма которых 229.
$15^2+2^2=229$ Последовательност получается
Код:
0,1,-3,6,22,47,83,132,196,277,377,498,642,811,1007,782,1038,1327,1651,2012

Аналогично для подусловие в) от 0 до 1997 ( ну и потом добавить всем членам 15). Тут $n=18$

 Профиль  
                  
 
 Re: Квадратичная последовательность
Сообщение19.01.2018, 02:35 


15/04/10
923
г.Москва
у меня только сомнение в терминологии. Верно ли называть квадратичной последовательность с весьма специфичным условием
$|a_{k+1}-a_k|=k^2$
а куда тогда девать дискретный аналог параболы?
$a_k=c_2 \cdot k^2 +c_1 \cdot k +c_0$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group